Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente está lidando com uma integral que envolve uma função trigonométrica, especificamente o cosseno. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função que está complicando a integral. Aqui, temos , então o que está dentro do cosseno é . Vamos chamar essa parte de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é , para substituir na integral. Derivando :
Isso significa que:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 8:

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples: . A integral do cosseno é o seno:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a variável original , lembramos que . Então:

Resposta

A integral de em relação a é:

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função que satisfaz as condições do enunciado.
(a) é contínua em todos os pontos, exceto em , onde o limite pela direita existe e é igual a .
Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.
Verifique a primitiva para cada função.
Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas.