Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. A gente está lidando com uma integral que envolve uma função trigonométrica, especificamente o cosseno. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte interna da função que está complicando a integral. Aqui, temos
, então o que está dentro do cosseno é
. Vamos chamar essa parte de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
, para substituir na integral. Derivando
:
Isso significa que:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por 8:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
. A integral do cosseno é o seno:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando para a variável original
, lembramos que
. Então:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função
que satisfaz as condições do enunciado.
(a) é contínua em todos os pontos, exceto em
, onde o limite pela direita existe e é igual a
.
(a)
Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.
Verifique a primitiva para cada função.
Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas.