Calcule as integrais fazendo a substituição necessária. integral 2 x(2-x^2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando parte da integral em uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável u = 2 - x^2 . Observando a expressão , percebemos que a derivada de é , que aparece na nossa integral. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx em relação a 2x , dx = -du para substituir na integral. Derivando ambos os lados:
Perceba que temos na nossa integral original, então podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Substituindo integral 2x(2 - x^2)^3 dx = integral (-du) cdot u^3 = -integral u^3 du e na integral original, temos:
Agora, a integral está mais simples: .

Passo 5

Vamos integrar integral u^3 du = u^44 + C em relação a -integral u^3 du = -u^44 + C :
Portanto,

Passo 6

Por fim, substituímos -(2 - x^2)^44 + C de volta para :

Resposta

-(2 - x^2)^44 + C

Exercícios relacionados