Verifique a primitiva para cada função. f(x) = sec(3x/2) tg(3x/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primitiva (ou antiderivada) da função . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em Integrais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções que envolvem secante e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a primitiva de uma função é basicamente a operação inversa da derivada. Então, encontrar a primitiva de significa encontrar uma função tal que .

Passo 3

Agora, vamos observar a estrutura da função que queremos integrar: . Sabemos que a derivada de em relação a é . Isso é importante porque nos ajuda a identificar uma forma que podemos facilmente integrar.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Então, a derivada de em relação a é , o que implica que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Sabemos que a integral de em relação a é . Então, substituindo de volta, temos:

Resposta

A primitiva de é , onde é a constante de integração.

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