Verifique a primitiva para cada função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primitiva (ou antiderivada) da função
. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em Integrais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções que envolvem secante e tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a primitiva de uma função é basicamente a operação inversa da derivada. Então, encontrar a primitiva de
significa encontrar uma função
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos observar a estrutura da função que queremos integrar:
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Isso é importante porque nos ajuda a identificar uma forma que podemos facilmente integrar.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é
, o que implica que
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Passo 6
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Então, substituindo de volta, temos:
Resposta
A primitiva de
é
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.
Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função
que satisfaz as condições do enunciado.
(a) é contínua em todos os pontos, exceto em
, onde o limite pela direita existe e é igual a
.
(a)
Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas.
Resolva os PVIs abaixo, usando o método que preferir.