Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral: integral0^1 integral0^y^2 3 y^3 e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e lidar com limites de integração que dependem de outra variável.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é em relação a : . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar 3 y^3 cdot 1y e^x y = 3 y^2 e^x y com respeito a . A integral de em relação a é , já que a derivada de em relação a é .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 3 y^2 e^y cdot y^2 - 3 y^2 e^0 = 3 y^2 e^y^3 - 3 y^2 a :

Passo 5

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 (3 y^2 e^y^3 - 3 y^2) , dy de 3 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy - 3 integral0^1 y^2 , dy a :
Podemos dividir essa integral em duas partes:

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral: integralu=0^u=1 e^u , du = e^1 - e^0 = e - 1 .
Fazendo a substituição , então , o que simplifica a integral para:
Portanto, a primeira parte é .

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda integral: -3 [ y^33 ]0^1 = -3 ( 13 - 0 ) = -1 .
Integrando em relação a :

Resposta

Somando as duas partes, temos:
3 (e - 1) - 1 = 3e - 3 - 1 = 3e - 4
Então, o valor da integral é .

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