Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e lidar com limites de integração que dependem de outra variável.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é em relação a : . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar com respeito a . A integral de em relação a é , já que a derivada de em relação a é .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 5

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a de a :
Podemos dividir essa integral em duas partes:

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral: .
Fazendo a substituição , então , o que simplifica a integral para:
Portanto, a primeira parte é .

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda integral: .
Integrando em relação a :

Resposta

Somando as duas partes, temos:
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral:
Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.
Nos seguintes itens, integre sobre a região dada: (Triângulo) sobré a região triangular com vértices , e .
Nos seguintes itens, integre sobre a região dada: (Triângulo) sobre a região triangular cortada pelo primeiro quadrante do plano pela reta .