Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e lidar com limites de integração que dependem de outra variável.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é em relação a
:
. Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
com respeito a
. A integral de
em relação a
é
, já que a derivada de
em relação a
é
.
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 5
Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a
de
a
:
Podemos dividir essa integral em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
.
Fazendo a substituição
, então
, o que simplifica a integral para:
Portanto, a primeira parte é
.
Passo 7
Agora, resolvemos a segunda integral:
.
Integrando
em relação a
:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral:
Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.
Nos seguintes itens, integre
sobre a região dada: (Triângulo)
sobré a região triangular com vértices
,
e
.
Nos seguintes itens, integre
sobre a região dada: (Triângulo)
sobre a região triangular cortada pelo primeiro quadrante do plano
pela reta
.