Nos seguintes itens, integre f sobre a região dada: (Triângulo) f(x, y) = x^2 + y^2 sobré a região triangular com vértices (0,0), 1,0 e 0,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa integrar a função sobre uma região triangular definida pelos vértices , e . Isso envolve conhecimentos de integrais duplas e de como definir os limites de integração para uma área triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região triangular onde vamos integrar. Os vértices são , e . Isso forma um triângulo retângulo no primeiro quadrante do plano XY, onde a hipotenusa é a linha que vai de a . A equação dessa hipotenusa pode ser encontrada para definir os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar a equação da hipotenusa, notamos que ela passa pelos pontos e . Usando a fórmula da equação da reta:
Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 1, varia de 0 até .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla. Como varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a , a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo por termo:
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, simplificamos essa expressão:
Distribuindo o 1/3:
Combinando termos semelhantes:

Passo 7

Agora, integramos essa expressão resultante em relação a de 0 a 1:
Integrando termo por termo:
Simplificando:

Passo 8

Agora, somamos os termos:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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