Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral: integral-1^0 integral-1^1(x+y+1) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral duplinha aí! O enunciado pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral integral-1^0 integral-1^1(x+y+1) , dx , dy. Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas pra calcular áreas ou volumes sobre uma região no plano. A gente vai precisar entender como integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites dizem que vai de até e, para cada , vai de até . Isso forma um retângulo no plano , onde varia entre e horizontalmente, e varia entre e verticalmente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é a parte que envolve integral-1^1 (x + y + 1) , dx . A expressão que vamos integrar é , e os limites de são de a . Então, integramos em relação a :

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
integral (x) , dx = 12x^2
integral (y) , dx = yx
integral (1) , dx = x
Então, a integral interna fica:
[ 12x^2 + yx + x ]-1^1

Passo 5

Agora, substituímos os limites de 12(1)^2 + y(1) + 1 = 12 + y + 1 = 32 + y :
Para 12(-1)^2 + y(-1) + (-1) = 12 - y - 1 = -12 - y :
( 32 + y ) - ( -12 - y ) = 32 + y + 12 + y = 2 + 2y
Para :
Subtraindo:

Passo 6

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a integral-1^0 (2 + 2y) , dy , com limites de a :

Passo 7

Mais uma vez, integramos termo a termo:
integral 2 , dy = 2y
integral 2y , dy = y^2
Então, a integral fica:
[ 2y + y^2 ]-1^0

Passo 8

Substituímos os limites de 2(0) + (0)^2 = 0 + 0 = 0 :
Para 2(-1) + (-1)^2 = -2 + 1 = -1 :
0 - (-1) = 1
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é 1.

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