Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral duplinha aí! O enunciado pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral
. Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas pra calcular áreas ou volumes sobre uma região no plano. A gente vai precisar entender como integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites dizem que
vai de
até
e, para cada
,
vai de
até
. Isso forma um retângulo no plano
, onde
varia entre
e
horizontalmente, e
varia entre
e
verticalmente.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna, que é a parte que envolve
. A expressão que vamos integrar é
, e os limites de
são de
a
. Então, integramos em relação a
:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, substituímos os limites de
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a
, com limites de
a
:
Passo 7
Mais uma vez, integramos termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Substituímos os limites de
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral é 1.
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Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral:
Nos seguintes itens, integre
sobre a região dada: (Triângulo)
sobré a região triangular com vértices
,
e
.