Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral duplinha aí! O enunciado pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral . Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas pra calcular áreas ou volumes sobre uma região no plano. A gente vai precisar entender como integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites dizem que vai de até e, para cada , vai de até . Isso forma um retângulo no plano , onde varia entre e horizontalmente, e varia entre e verticalmente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é a parte que envolve . A expressão que vamos integrar é , e os limites de são de a . Então, integramos em relação a :

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 6

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a , com limites de a :

Passo 7

Mais uma vez, integramos termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 8

Substituímos os limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é 1.

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