Nos seguintes itens, integre sobre a região dada: (Triângulo) sobre a região triangular cortada pelo primeiro quadrante do plano pela reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral da função sobre uma região triangular no primeiro quadrante do plano , limitada pela reta . Isso envolve cálculo integral em duas variáveis, especificamente uma integral dupla sobre uma região triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Como estamos no primeiro quadrante, tanto quanto são maiores ou iguais a zero. A reta corta os eixos e nos pontos e , respectivamente. Então, a região triangular é formada pelos pontos onde vai de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 até .
Passo 3
Agora, configuramos a integral dupla. A integral sobre a região triangular pode ser escrita como:
Isso significa que primeiro integramos em relação a de 0 a , e depois integramos o resultado em relação a de 0 a 1.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna, ou seja, integrar em relação a :
Substituindo os limites de integração:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão obtida:
Então, nossa integral agora fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Agora, somamos todas as integrais:
Substituindo :
Convertendo todos para frações com denominador 30:
Substituindo , todos os termos são zero.
Resposta
A integral dupla de sobre a região triangular é igual a .