Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os desenvolvimentos em séries de senos e cossenos para a função definida no intervalo . Isso envolve usar a teoria das séries de Fourier para representar como uma soma infinita de funções senoidais e cossenoidais.
Passo 2
Vamos começar encontrando a série de cossenos para . A série de Fourier de cossenos é útil quando a função é estendida como uma função par em todo o eixo . A fórmula geral para os coeficientes na série de cossenos é:
onde no nosso caso.
Passo 3
Calculando o coeficiente :
Resolvendo a integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Esse integral pode ser resolvido por partes, ou usando tabelas de integrais padrão.
Passo 5
Depois de calcular , a série de cossenos fica:
Substituindo :
Passo 6
Para a série de senos, como a função é par, os coeficientes serão zero. Portanto, a série de senos não contribui na representação da função .
Resposta
A série de Fourier de cossenos para no intervalo é:
onde os coeficientes são calculados por:
A série de senos não contribui para essa função devido à sua paridade.