Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os desenvolvimentos em senos e cossenos no meio-intervalo para a função que é definida por partes. Isso faz parte do estudo de séries de Fourier, onde representamos funções periódicas usando senos e cossenos. Vamos precisar entender como decompor a função dada em uma soma de termos senoidais e cosenoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo de definição da função. Aqui, está definida no intervalo de a . Para trabalhar com séries de Fourier no meio-intervalo, geralmente consideramos funções definidas em . Nesse caso, .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma série de Fourier em cossenos (série de Fourier tipo C) é usada para funções que são estendidas como funções pares, enquanto a série de Fourier em senos (série de Fourier tipo S) é usada para funções estendidas como ímpares. Isso depende das condições de contorno do problema.

Passo 4

Vamos começar encontrando a série de cossenos para . A fórmula para os coeficientes da série de cossenos é:
onde é um número inteiro positivo.

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, calculamos :
Essas integrais podem ser calculadas usando integração por partes.

Passo 7

Após resolver as integrais, obtemos os valores dos coeficientes . A série de cossenos fica então:
Onde substituímos os calculados.

Passo 8

De maneira similar, para a série de senos, usamos:
E a série fica:
Calculamos os seguindo o mesmo processo de integração.

Resposta

Portanto, os desenvolvimentos de meio-intervalo em cossenos e senos para a função são:
Onde os coeficientes e são obtidos pelas integrais apresentadas nos passos anteriores.

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Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral: