Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os desenvolvimentos em senos e cossenos no meio-intervalo para a função
que é definida por partes. Isso faz parte do estudo de séries de Fourier, onde representamos funções periódicas usando senos e cossenos. Vamos precisar entender como decompor a função dada em uma soma de termos senoidais e cosenoidais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo de definição da função. Aqui,
está definida no intervalo de
a
. Para trabalhar com séries de Fourier no meio-intervalo, geralmente consideramos funções definidas em
. Nesse caso,
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma série de Fourier em cossenos (série de Fourier tipo C) é usada para funções que são estendidas como funções pares, enquanto a série de Fourier em senos (série de Fourier tipo S) é usada para funções estendidas como ímpares. Isso depende das condições de contorno do problema.
Passo 4
Vamos começar encontrando a série de cossenos para
. A fórmula para os coeficientes da série de cossenos é:
onde
é um número inteiro positivo.
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Essas integrais podem ser calculadas usando integração por partes.
Passo 7
Após resolver as integrais, obtemos os valores dos coeficientes
. A série de cossenos fica então:
Onde substituímos os
calculados.
Passo 8
De maneira similar, para a série de senos, usamos:
E a série fica:
Calculamos os
seguindo o mesmo processo de integração.
Resposta
Portanto, os desenvolvimentos de meio-intervalo em cossenos e senos para a função
são:
Onde os coeficientes
e
são obtidos pelas integrais apresentadas nos passos anteriores.
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Para cada item abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral: