Em cada item abaixo escreva w como combinação linear de u e v :
w=(2,10), u=(5,2) e v=(1,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever o vetor w = (2,10) como uma combinação linear dos vetores u = (5,2) e v = (1,5). Isso significa que vamos encontrar números w = au + bv e tais que:
Para isso, vamos usar um pouquinho de álgebra linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial de forma mais detalhada. Substituindo os valores dos vetores, temos:
(2,10) = a(5,2) + b(1,5)
Isso significa que cada componente dos vetores deve ser igual. Então, podemos separar em duas equações:
2 = 5a + b (1)
10 = 2a + 5b (2)
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. A forma mais simples aqui é usar o método da substituição. Vamos isolar 2 = 5a + b implies b = 2 - 5a na primeira equação:
10 = 2a + 5b
Agora que temos 10 = 2a + 5(2 - 5a) em termos de , vamos substituir na segunda equação:
Substituindo :

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
10 = 2a + 10 - 25a
Juntando os termos semelhantes:
10 = (2a - 25a) + 10 implies 10 = -23a + 10
Agora, subtraímos 10 de ambos os lados para isolar o termo com 10 - 10 = -23a + 10 - 10 implies 0 = -23a :
a = 0
Daí, resolvendo para :

Passo 5

Agora que sabemos que b = 2 - 5a = 2 - 5(0) = 2 , voltamos na expressão que encontramos para :
Então, .

Resposta

Portanto, o vetor w pode ser escrito como:
w = 0u + 2v
Ou seja:
w = 2v

Exercícios relacionados