Em cada item abaixo escreva
como combinação linear de
e
:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso significa que vamos encontrar números
e
tais que:
Para isso, vamos usar um pouquinho de álgebra linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação vetorial de forma mais detalhada. Substituindo os valores dos vetores, temos:
Isso significa que cada componente dos vetores deve ser igual. Então, podemos separar em duas equações:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. A forma mais simples aqui é usar o método da substituição. Vamos isolar
na primeira equação:
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir na segunda equação:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, subtraímos 10 de ambos os lados para isolar o termo com
:
Daí, resolvendo para
:
Passo 5
Agora que sabemos que
, voltamos na expressão que encontramos para
:
Então,
.
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser escrito como:
Ou seja:
Exercícios relacionados
Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
dada por
.
Em cada item abaixo escreva
como combinação linear de
e
:
e
Dados
e
, do
, qual vetor é a combinação linear
?
Qual das matrizes abaixo é combinação linear de
,
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)