Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares: dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente tem uma transformação definida por . Nosso objetivo é encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem em transformações lineares e usar um pouco de álgebra para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o núcleo da transformação . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que, quando aplicados na transformação , resultam no vetor zero .
Matematicamente, queremos resolver:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
Como , então também.

Passo 4

Então, a única solução para esse sistema é e . Isso significa que o núcleo da transformação é o vetor zero. Em termos matemáticos:
ú

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da transformação . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de .
Como mapeia para e o núcleo contém apenas o vetor zero, isso indica que é uma transformação linear injetora. Além disso, pelo teorema da dimensão, se o núcleo tem dimensão 0, a imagem deve ter dimensão 2, ou seja, toda .
Outra forma de ver isso é calculando o determinante da matriz associada a :
Como o determinante não é zero, a transformação é inversível e, portanto, a imagem é todo .

Resposta

ú

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Em cada item abaixo escreva como combinação linear de e :
e
Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares: dada por .
Em cada item abaixo escreva como combinação linear de e :
e
Dados e , do , qual vetor é a combinação linear ?