Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente tem uma transformação
definida por
. Nosso objetivo é encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem em transformações lineares e usar um pouco de álgebra para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o núcleo da transformação
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que, quando aplicados na transformação
, resultam no vetor zero
.
Matematicamente, queremos resolver:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
Substituindo
na segunda equação:
Como
, então
também.
Passo 4
Então, a única solução para esse sistema é
e
. Isso significa que o núcleo da transformação
é o vetor zero. Em termos matemáticos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da transformação
. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a qualquer vetor de
.
Como
mapeia
para
e o núcleo contém apenas o vetor zero, isso indica que
é uma transformação linear injetora. Além disso, pelo teorema da dimensão, se o núcleo tem dimensão 0, a imagem deve ter dimensão 2, ou seja, toda
.
Outra forma de ver isso é calculando o determinante da matriz associada a
:
Como o determinante não é zero, a transformação é inversível e, portanto, a imagem é todo
.
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo escreva
como combinação linear de
e
:
e
Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
dada por
.
Em cada item abaixo escreva
como combinação linear de
e
:
e
Dados
e
, do
, qual vetor é a combinação linear
?