Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares: T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x-y, x+y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente tem uma transformação definida por . Nosso objetivo é encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem em transformações lineares e usar um pouco de álgebra para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o núcleo da transformação T(x, y) = (x - y, x + y) = (0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x - y = 0 x + y = 0 em que, quando aplicados na transformação , resultam no vetor zero .
Matematicamente, queremos resolver:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
x - y = 0 implies x = y
Substituindo x + y = 0 implies y + y = 0 implies 2y = 0 implies y = 0 na segunda equação:
Como , então também.

Passo 4

Então, a única solução para esse sistema é Núc<=o(T) = (0, 0) e . Isso significa que o núcleo da transformação é o vetor zero. Em termos matemáticos:
ú

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da transformação Matriz de T = 1 & -1 1 & 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando determinante = (1)(1) - (-1)(1) = 1 + 1 = 2 neq 0 a qualquer vetor de .
Como mapeia para e o núcleo contém apenas o vetor zero, isso indica que é uma transformação linear injetora. Além disso, pelo teorema da dimensão, se o núcleo tem dimensão 0, a imagem deve ter dimensão 2, ou seja, toda .
Outra forma de ver isso é calculando o determinante da matriz associada a :
Como o determinante não é zero, a transformação é inversível e, portanto, a imagem é todo .

Resposta

Núc<=o(T) = (0, 0) ú
Ima>=m(T) = R^2

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