Em cada item abaixo escreva w como combinação linear de u e v :
w=(8,8,1), u=(1,4,2) e v=(2,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o vetor w = (8, 8, 1) como uma combinação linear dos vetores u = (1, 4, 2) e v = (2, 0, -1). Isso significa que queremos encontrar dois números, vamos chamar de a e b, tais que:
w = a,u + b,v
Para isso, vamos precisar usar o conceito de combinação linear, que é basicamente somar múltiplos de vetores para obter outro vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial de forma mais detalhada. Substituindo os valores dos vetores, temos:
(8, 8, 1) = a, (1, 4, 2) + b, (2, 0, -1)
Isso significa que cada componente do vetor w deve ser igual à combinação linear correspondente das componentes de u e v. Então, vamos separar isso em três equações:
  1. Para a primeira coordenada:
8 = a cdot 1 + b cdot 2
  1. Para a segunda coordenada:
8 = a cdot 4 + b cdot 0
  1. Para a terceira coordenada:
1 = a cdot 2 + b cdot (-1)

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a e b. Observamos que a segunda equação é bem simples:
8 = 4a
Podemos resolver para a dividindo os dois lados por 4:
a = 84 = 2
Então, já sabemos que a = 2.

Passo 4

Com o valor de a encontrado, vamos substituir na primeira equação para encontrar b:
8 = 2 cdot 1 + b cdot 2 8 = 2 + 2b
Agora, subtraímos 2 de ambos os lados:
8 - 2 = 2b 6 = 2b
E dividimos por 2:
b = 62 = 3
Então, b = 3.

Passo 5

Para garantir que encontramos os valores corretos, vamos verificar na terceira equação:
1 = 2 cdot 2 + 3 cdot (-1) 1 = 4 - 3 1 = 1
A igualdade se confirma, o que significa que nossos valores de a e b estão corretos.

Resposta

Portanto, o vetor w pode ser escrito como combinação linear de u e v da seguinte forma:
w = 2,u + 3,v

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