Em cada item abaixo escreva como combinação linear de e :
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos encontrar dois números, vamos chamar de e , tais que:
Para isso, vamos precisar usar o conceito de combinação linear, que é basicamente somar múltiplos de vetores para obter outro vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial de forma mais detalhada. Substituindo os valores dos vetores, temos:
Isso significa que cada componente do vetor deve ser igual à combinação linear correspondente das componentes de e . Então, vamos separar isso em três equações:
  1. Para a primeira coordenada:
  1. Para a segunda coordenada:
  1. Para a terceira coordenada:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e . Observamos que a segunda equação é bem simples:
Podemos resolver para dividindo os dois lados por 4:
Então, já sabemos que .

Passo 4

Com o valor de encontrado, vamos substituir na primeira equação para encontrar :
Agora, subtraímos 2 de ambos os lados:
E dividimos por 2:
Então, .

Passo 5

Para garantir que encontramos os valores corretos, vamos verificar na terceira equação:
A igualdade se confirma, o que significa que nossos valores de e estão corretos.

Resposta

Portanto, o vetor pode ser escrito como combinação linear de e da seguinte forma:

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(i)
(ii)
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Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Resolva os sistemas a seguir.
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