Em cada item abaixo escreva
como combinação linear de
e
:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso significa que queremos encontrar dois números, vamos chamar de
e
, tais que:
Para isso, vamos precisar usar o conceito de combinação linear, que é basicamente somar múltiplos de vetores para obter outro vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação vetorial de forma mais detalhada. Substituindo os valores dos vetores, temos:
Isso significa que cada componente do vetor
deve ser igual à combinação linear correspondente das componentes de
e
. Então, vamos separar isso em três equações:
- Para a primeira coordenada:
- Para a segunda coordenada:
- Para a terceira coordenada:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
. Observamos que a segunda equação é bem simples:
Podemos resolver para
dividindo os dois lados por 4:
Então, já sabemos que
.
Passo 4
Com o valor de
encontrado, vamos substituir na primeira equação para encontrar
:
Agora, subtraímos 2 de ambos os lados:
E dividimos por 2:
Então,
.
Passo 5
Para garantir que encontramos os valores corretos, vamos verificar na terceira equação:
A igualdade se confirma, o que significa que nossos valores de
e
estão corretos.
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser escrito como combinação linear de
e
da seguinte forma: