Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
(g) (ccc2 & i & 0 -i & 1 & 1 0 & 1 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada dada e, se possível, diagonalizá-la. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz det(A - lambda I) = 0 , a gente precisa resolver a equação característica:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 2 & i & 0 -i & 1 & 1 0 & 1 & 0 . A matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 dada é:
A - lambda I = 2 - lambda & i & 0 -i & 1 - lambda & 1 0 & 1 & -lambda
A matriz identidade de ordem 3 é:
Então, fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = 2 - lambda & i & 0 -i & 1 - lambda & 1 0 & 1 & -lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot 1 - lambda & 1 1 & -lambda - i cdot -i & 1 0 & -lambda + 0 cdot (determinante qualquer)
Vamos expandir esse determinante. Como a terceira coluna tem um zero, fica mais fácil expandir pela primeira linha:
1 - lambda & 1 1 & -lambda = (1 - lambda)(-lambda) - (1)(1) = -lambda + lambda^2 - 1
Calculando os menores:
-i & 1 0 & -lambda = (-i)(-lambda) - (1)(0) = ilambda
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - lambda - 1) - i(ilambda)
Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - lambda - 1) + lambda
Simplificando :

Passo 5

Vamos multiplicar os termos:
(2 - lambda)(lambda^2 - lambda - 1) = 2lambda^2 - 2lambda - 2 - lambda^3 + lambda^2 + lambda
Simplificando:
- lambda^3 + 3lambda^2 - lambda - 2
Agora, adicionamos o - lambda^3 + 3lambda^2 - lambda - 2 + lambda = -lambda^3 + 3lambda^2 - 2 que veio do outro termo:
- lambda^3 + 3lambda^2 - 2 = 0
Então, temos a equação característica:
lambda^3 - 3lambda^2 + 2 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 6

Vamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - 3lambda^2 + 2 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são divisores de 2, ou seja, 1 - 3 + 2 = 0 Rightarrow lambda = 1 é raiz .
Testando lambda^3 - 3lambda^2 + 2 = (lambda - 1)(lambda^2 - 2lambda - 2) :
lambda = 2 pm raiz4 + 82 = 2 pm raiz122 = 2 pm 2raiz32 = 1 pm raiz3 é
Então, podemos fatorar e dividir a equação cúbica por :
Agora, resolvemos a equação quadrática :

Passo 7

Então, os autovalores são:
lambda1 = 1, lambda2 = 1 + raiz3, lambda3 = 1 - raiz3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo .

Passo 8

Para A - I = 1 & i & 0 -i & 0 & 1 0 & 1 & -1 :
Montamos 1 cdot v1 + i cdot v2 + 0 cdot v3 = 0 -i cdot v1 + 0 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0 0 cdot v1 + 1 cdot v2 - 1 cdot v3 = 0 :
v^(1) = 1 i i
Resolvendo o sistema linear:
Da terceira equação: .
Da segunda equação: .
Então, .
Da primeira equação: , que é consistente.
Portanto, o autovetor é proporcional a:

Passo 9

Para A - lambda2 I = 2 - (1 + raiz3) & i & 0 -i & 1 - (1 + raiz3) & 1 0 & 1 & - (1 + raiz3) = 1 - raiz3 & i & 0 -i & -raiz3 & 1 0 & 1 & -1 - raiz3 :
Montamos (1 - raiz3) v1 + i v2 = 0 -i v1 - raiz3 v2 + v3 = 0 v2 - (1 + raiz3) v3 = 0 :
v^(2) = -i 1 + raiz3 1
Resolvendo o sistema :
Da terceira equação: .
Da primeira equação: .
Simplificando , então .
Portanto, o autovetor é proporcional a:

Passo 10

Para A - lambda3 I = 2 - (1 - raiz3) & i & 0 -i & 1 - (1 - raiz3) & 1 0 & 1 & - (1 - raiz3) = 1 + raiz3 & i & 0 -i & raiz3 & 1 0 & 1 & -1 + raiz3 :
Montamos (1 + raiz3) v1 + i v2 = 0 -i v1 + raiz3 v2 + v3 = 0 v2 + (-1 + raiz3) v3 = 0 :
v^(3) = i 1 - raiz3 1
Resolvendo o sistema :
Da terceira equação: .
Da primeira equação: .
Simplificando , então .
Portanto, o autovetor é proporcional a:

Resposta

Os autovalores da matriz são v^(1) = 1 i i , v^(2) = -i 1 + raiz3 1 , v^(3) = i 1 - raiz3 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 1 + raiz3 & 0 0 & 0 & 1 - raiz3 e P = 1 & -i & i i & 1 + raiz3 & 1 - raiz3 i & 1 & 1 . Os autovetores correspondentes são:
Como temos três autovalores e três autovetores linearmente independentes, a matriz é diagonalizável. A matriz diagonal é:
E a matriz de autovetores é:
Assim, a diagonalização da matriz é .

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