Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada dada e, se possível, diagonalizá-la. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz det(A - lambda I) = 0 , a gente precisa resolver a equação característica:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação.
Passo 3
Vamos montar a matriz A = 2 & i & 0 -i & 1 & 1 0 & 1 & 0 . A matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 dada é:
A - lambda I = 2 - lambda & i & 0 -i & 1 - lambda & 1 0 & 1 & -lambda
Agora, adicionamos o - lambda^3 + 3lambda^2 - lambda - 2 + lambda = -lambda^3 + 3lambda^2 - 2 que veio do outro termo:
- lambda^3 + 3lambda^2 - 2 = 0
Então, temos a equação característica:
lambda^3 - 3lambda^2 + 2 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 6
Vamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - 3lambda^2 + 2 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são divisores de 2, ou seja, 1 - 3 + 2 = 0 Rightarrow lambda = 1 é raiz .