Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada dada e, se possível, diagonalizá-la. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz , a gente precisa resolver a equação característica:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação.
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz dada é:
A matriz identidade de ordem 3 é:
Então, fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz :
Vamos expandir esse determinante. Como a terceira coluna tem um zero, fica mais fácil expandir pela primeira linha:
Calculando os menores:
Substituindo de volta:
Simplificando :
Passo 5
Vamos multiplicar os termos:
Simplificando:
Agora, adicionamos o que veio do outro termo:
Então, temos a equação característica:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 6
Vamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são divisores de 2, ou seja, .
Testando :
é
Então, podemos fatorar e dividir a equação cúbica por :
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Passo 7
Então, os autovalores são:
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo .
Passo 8
Para :
Montamos :
Resolvendo o sistema linear:
Da terceira equação: .
Da segunda equação: .
Então, .
Da primeira equação: , que é consistente.
Portanto, o autovetor é proporcional a:
Passo 9
Para :
Montamos :
Resolvendo o sistema :
Da terceira equação: .
Da primeira equação: .
Simplificando , então .
Portanto, o autovetor é proporcional a:
Passo 10
Para :
Montamos :
Resolvendo o sistema :
Da terceira equação: .
Da primeira equação: .
Simplificando , então .
Portanto, o autovetor é proporcional a:
Resposta
Os autovalores da matriz são , e . Os autovetores correspondentes são:
Como temos três autovalores e três autovetores linearmente independentes, a matriz é diagonalizável. A matriz diagonal é: