Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada dada e, se possível, diagonalizá-la. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz , a gente precisa resolver a equação característica:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz dada é:
A matriz identidade de ordem 3 é:
Então, fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz :
Vamos expandir esse determinante. Como a terceira coluna tem um zero, fica mais fácil expandir pela primeira linha:
Calculando os menores:
Substituindo de volta:
Simplificando :

Passo 5

Vamos multiplicar os termos:
Simplificando:
Agora, adicionamos o que veio do outro termo:
Então, temos a equação característica:
Multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 6

Vamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são divisores de 2, ou seja, .
Testando :
é
Então, podemos fatorar e dividir a equação cúbica por :
Agora, resolvemos a equação quadrática :

Passo 7

Então, os autovalores são:
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo .

Passo 8

Para :
Montamos :
Resolvendo o sistema linear:
Da terceira equação: .
Da segunda equação: .
Então, .
Da primeira equação: , que é consistente.
Portanto, o autovetor é proporcional a:

Passo 9

Para :
Montamos :
Resolvendo o sistema :
Da terceira equação: .
Da primeira equação: .
Simplificando , então .
Portanto, o autovetor é proporcional a:

Passo 10

Para :
Montamos :
Resolvendo o sistema :
Da terceira equação: .
Da primeira equação: .
Simplificando , então .
Portanto, o autovetor é proporcional a:

Resposta

Os autovalores da matriz são , e . Os autovetores correspondentes são:
Como temos três autovalores e três autovetores linearmente independentes, a matriz é diagonalizável. A matriz diagonal é:
E a matriz de autovetores é:
Assim, a diagonalização da matriz é .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo escreva como combinação linear de e :
e
Determine quais as seguintes matrizes são normais.
(i)
(ii)
Resolva os sistemas a seguir.
©
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e