Determine quais as seguintes matrizes são normais.
(i) A=(cc3+4 i & 1 i & 2+3 i)
(ii) B=(cc1 & 0 1-i & i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quais das duas matrizes dadas são normais. Matriz normal é aquela que comuta com o seu adjunto, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto da matriz com o seu adjunto e ver se o resultado é o mesmo quando a ordem é invertida.

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz:
A = 3+4i & 1 i & 2+3i
Primeiro, precisamos encontrar o adjunto de A^dag>=r = 3-4i & -i 1 & 2-3i , que é a matriz transposta conjugada ( A A^dag>=r = 3+4i & 1 i & 2+3i 3-4i & -i 1 & 2-3i ). Isso significa que trocamos as linhas pelas colunas e conjugamos os números complexos.
(3+4i)(3-4i) + (1)(1) = 9 - 12i + 12i - 16i^2 + 1 = 9 + 16 + 1 = 26
Agora, vamos calcular (3+4i)(-i) + (1)(2-3i) = -3i -4i^2 + 2 -3i = 2 + 4 + (-3i -3i) = 6 -6i :
i(3-4i) + (2+3i)(1) = 3i -4i^2 + 2 +3i = 3i +4 +2 +3i = 6 +6i
Vamos multiplicar as matrizes:
  • Elemento (1,1):
i(-i) + (2+3i)(2-3i) = -i^2 +4 -6i +6i -9i^2 = 1 +4 +9 = 14
  • Elemento (1,2):
A A^dag>=r = 26 & 6-6i 6+6i & 14
  • Elemento (2,1):
A^dag>=r A = 3-4i & -i 1 & 2-3i 3+4i & 1 i & 2+3i
  • Elemento (2,2):
(3-4i)(3+4i) + (-i)(i) = 9 +12i -12i -16i^2 -i^2 = 9 +16 +1 = 26
Então,
(3-4i)(1) + (-i)(2+3i) = 3 -4i -2i -3i^2 = 3 +3 + (-4i -2i) = 6 -6i
Agora, vamos calcular 1(3+4i) + (2-3i)(i) = 3 +4i +2i -3i^2 = 3 +4i +2i +3 = 6 +6i :
1(1) + (2-3i)(2+3i) = 1 +4 +6i -6i -9i^2 = 1 +4 +9 = 14
Multiplicando as matrizes:
  • Elemento (1,1):
A^dag>=r A = 26 & 6-6i 6+6i & 14
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,
Observamos que , então a matriz A é normal.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda matriz:
B = 1 & 0 1-i & i
Primeiro, encontramos o adjunto de B^dag>=r = 1 & 1+i 0 & -i :
B B^dag>=r = 1 & 0 1-i & i 1 & 1+i 0 & -i
Vamos calcular 1 cdot 1 + 0 cdot 0 = 1 :
1 cdot (1+i) + 0 cdot (-i) = 1 +i
Multiplicando as matrizes:
  • Elemento (1,1):
(1-i) cdot 1 + i cdot 0 = 1 -i
  • Elemento (1,2):
(1-i)(1+i) + i(-i) = 1 +i -i -i^2 + (-i^2) = 1 +1 +1 = 3
  • Elemento (2,1):
B B^dag>=r = 1 & 1+i 1-i & 3
  • Elemento (2,2):
B^dag>=r B = 1 & 1+i 0 & -i 1 & 0 1-i & i
Então,
1 cdot 1 + (1+i)(1-i) = 1 + (1 -i +i -i^2) = 1 + (1 +1) = 3
Agora, vamos calcular 1 cdot 0 + (1+i)i = 0 +i +i^2 = i -1 :
0 cdot 1 + (-i)(1-i) = 0 -i +i^2 = -i -1
Multiplicando as matrizes:
  • Elemento (1,1):
0 cdot 0 + (-i)i = 0 -i^2 = 1
  • Elemento (1,2):
B^dag>=r B = 3 & i-1 -1-i & 1
  • Elemento (2,1):
B B^dag>=r = 1 & 1+i 1-i & 3 neq 3 & i-1 -1-i & 1 = B^dag>=r B
  • Elemento (2,2):
Então,
Comparando com :
Como , a matriz B não é normal.

Resposta

A matriz A é normal, enquanto a matriz B não é normal.

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