Determine quais as seguintes matrizes são normais.
(i)
(ii)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quais das duas matrizes dadas são normais. Matriz normal é aquela que comuta com o seu adjunto, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto da matriz com o seu adjunto e ver se o resultado é o mesmo quando a ordem é invertida.

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, precisamos encontrar o adjunto de , que é a matriz transposta conjugada ( ). Isso significa que trocamos as linhas pelas colunas e conjugamos os números complexos.
Agora, vamos calcular :
Vamos multiplicar as matrizes:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,
Agora, vamos calcular :
Multiplicando as matrizes:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,
Observamos que , então a matriz A é normal.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda matriz:
Primeiro, encontramos o adjunto de :
Vamos calcular :
Multiplicando as matrizes:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,
Agora, vamos calcular :
Multiplicando as matrizes:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,
Comparando com :
Como , a matriz B não é normal.

Resposta

A matriz A é normal, enquanto a matriz B não é normal.

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(a)
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e
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