Determine quais as seguintes matrizes são normais.
(i)
(ii)
(i)
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quais das duas matrizes dadas são normais. Matriz normal é aquela que comuta com o seu adjunto, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto da matriz com o seu adjunto e ver se o resultado é o mesmo quando a ordem é invertida.
Passo 2
Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, precisamos encontrar o adjunto de
, que é a matriz transposta conjugada (
). Isso significa que trocamos as linhas pelas colunas e conjugamos os números complexos.
Agora, vamos calcular
:
Vamos multiplicar as matrizes:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então,
Agora, vamos calcular
:
Multiplicando as matrizes:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então,
Observamos que
, então a matriz A é normal.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda matriz:
Primeiro, encontramos o adjunto de
:
Vamos calcular
:
Multiplicando as matrizes:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então,
Agora, vamos calcular
:
Multiplicando as matrizes:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então,
Comparando
com
:
Como
, a matriz B não é normal.
Resposta
A matriz A é normal, enquanto a matriz B não é normal.
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(a)
(a)
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como combinação linear de
e
:
e
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