Em cada item abaixo ao invés de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em
, considere as definições dadas e a partir deles mostre se
é um espaço vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
, com definições alternativas de soma e multiplicação por escalar que serão dadas em cada item, forma ou não um espaço vetorial. Basicamente, vamos precisar saber o que é um espaço vetorial e quais são os axiomas que precisam ser satisfeitos para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) é um conjunto que, junto com as operações de soma e multiplicação por escalar, satisfaz uma série de propriedades chamadas axiomas vetoriais. Esses axiomas garantem que podemos fazer operações de forma consistente, como em álgebra linear.
Passo 3
Os principais axiomas que precisamos verificar são:
- Comutatividade da soma:
para todos os vetores . - Associatividade da soma:
. - Existência do elemento neutro: Existe um vetor
tal que . - Existência dos inversos aditivos: Para cada vetor
, existe um vetor tal que . - Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
. - Existência do elemento neutro da multiplicação:
.
Passo 4
Para cada item do exercício, onde as operações de soma e multiplicação por escalar são definidas de forma diferente das usuais, vamos verificar se todas essas propriedades são satisfeitas. Se pelo menos uma delas não for, então
com aquelas operações não será um espaço vetorial.
Passo 5
Vamos supor que no primeiro item a soma e a multiplicação por escalar são definidas de uma maneira específica. Vamos aplicar cada axioma:
- Comutatividade: Verificar se
com as novas definições. - Associatividade: Verificar se
. - E assim por diante para os demais axiomas.
Se todas as verificações passarem, então
é um espaço vetorial sob essas operações. Caso contrário, não é.
Resposta
Assim, analisando as defini��ões dadas em cada item e verificando todos os axiomas necessários, podemos concluir se
é ou não um espaço vetorial sob essas operações específicas.
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e
.
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e
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e
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(e)
(e)
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e
, os focos
e
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(d)
(d)
Calcule
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