Em cada item abaixo ao invés de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em R^2, considere as definições dadas e a partir deles mostre se R^2 é um espaço vetorial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto R^2, com definições alternativas de soma e multiplicação por escalar que serão dadas em cada item, forma ou não um espaço vetorial. Basicamente, vamos precisar saber o que é um espaço vetorial e quais são os axiomas que precisam ser satisfeitos para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) é um conjunto que, junto com as operações de soma e multiplicação por escalar, satisfaz uma série de propriedades chamadas axiomas vetoriais. Esses axiomas garantem que podemos fazer operações de forma consistente, como em álgebra linear.

Passo 3

Os principais axiomas que precisamos verificar são:
  1. Comutatividade da soma: u + v = v + u para todos os vetores u, v.
  2. Associatividade da soma: (u + v) + w = u + (v + w).
  3. Existência do elemento neutro: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u.
  4. Existência dos inversos aditivos: Para cada vetor u, existe um vetor -u tal que u + (-u) = 0.
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: a(bu) = (ab)u.
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: a(u + v) = au + av.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: (a + b)u = au + bu.
  8. Existência do elemento neutro da multiplicação: 1u = u.

Passo 4

Para cada item do exercício, onde as operações de soma e multiplicação por escalar são definidas de forma diferente das usuais, vamos verificar se todas essas propriedades são satisfeitas. Se pelo menos uma delas não for, então R^2 com aquelas operações não será um espaço vetorial.

Passo 5

Vamos supor que no primeiro item a soma e a multiplicação por escalar são definidas de uma maneira específica. Vamos aplicar cada axioma:
  • Comutatividade: Verificar se u + v = v + u com as novas definições.
  • Associatividade: Verificar se (u + v) + w = u + (v + w).
  • E assim por diante para os demais axiomas.
Se todas as verificações passarem, então R^2 é um espaço vetorial sob essas operações. Caso contrário, não é.

Resposta

Assim, analisando as defini��ões dadas em cada item e verificando todos os axiomas necessários, podemos concluir se R^2 é ou não um espaço vetorial sob essas operações específicas.

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