As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(2,-2)
Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r<0 e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos um ponto com coordenadas cartesianas (2, -2). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares r e theta, onde r < 0 e 0 <= theta <= 2pi.
Em coordenadas polares, r representa a distância do ponto à origem, e theta é o ângulo formado com o eixo positivo do x. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas e polares.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de r. A fórmula para isso é:
r = raizx^2 + y^2
Substituindo x = 2 e y = -2:
r = raiz2^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Como queremos r < 0, temos r = -2raiz2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo theta. Usamos a fórmula:
theta = arctan(yx)
Substituindo x = 2 e y = -2:
theta = arctan(-22) = arctan(-1)
Sabemos que arctan(-1) = -pi4. Mas precisamos que 0 <= theta <= 2pi. Assim:
theta = -pi4 + 2pi = 7pi4

Resposta

As coordenadas polares do ponto (2, -2) com r < 0 e 0 <= theta <= 2pi são:
boxed( -2raiz2, 7pi4 )

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