Determine em cada caso os vértices V1 e V2, os focos F1 e F2 e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
(d) 4 x^2-5 y^2-20=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! O enunciado pede para encontrar os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a forma padrão das hipérboles e como identificar seus elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado às assíntotas.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada para se parecer com a forma padrão. A equação é:
4x^2 - 5y^2 - 20 = 0
Primeiro, vamos isolar os termos com 4x^2 - 5y^2 = 20 e 4x^220 - 5y^220 = 1 :
x^25 - y^24 = 1
Agora, dividimos todos os termos por 20 para obter 1 no lado direito:
Simplificando as frações:
Agora, temos a equação na forma padrão, onde , , e .

Passo 4

Agora que temos os valores de a = raiz5 approx 2,24 e V1 = (h + a, k) = (0 + raiz5, 0) = (raiz5, 0) , podemos encontrar os vértices. Os vértices de uma hipérbole que abre horizontalmente (como essa, já que o termo de V2 = (h - a, k) = (0 - raiz5, 0) = (-raiz5, 0) é positivo) estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo .
Calculando :
Então, os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Calculando c^2 = 5 + 4 = 9 implies c = 3 :
F1 = (h + c, k) = (0 + 3, 0) = (3, 0)
Os focos também estão ao longo do eixo F2 = (h - c, k) = (0 - 3, 0) = (-3, 0) , a unidades do centro. Então:

Passo 6

Agora, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima à medida que y = pm ba (x - h) + k e y = pm 2raiz5 x vão para infinito. A equação das assíntotas para uma hipérbole na forma padrão é:
y = pm 2raiz55 x
Substituindo , , e :
Podemos racionalizar a fração:

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos são e . As assíntotas são as retas e .

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