Determine em cada caso os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! O enunciado pede para encontrar os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a forma padrão das hipérboles e como identificar seus elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole é:
Onde
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado às assíntotas.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação dada para se parecer com a forma padrão. A equação é:
Primeiro, vamos isolar os termos com
e
:
Agora, dividimos todos os termos por 20 para obter 1 no lado direito:
Simplificando as frações:
Agora, temos a equação na forma padrão, onde
,
,
e
.
Passo 4
Agora que temos os valores de
e
, podemos encontrar os vértices. Os vértices de uma hipérbole que abre horizontalmente (como essa, já que o termo de
é positivo) estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo
.
Calculando
:
Então, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a relação:
Calculando
:
Os focos também estão ao longo do eixo
, a
unidades do centro. Então:
Passo 6
Agora, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima à medida que
e
vão para infinito. A equação das assíntotas para uma hipérbole na forma padrão é:
Substituindo
,
,
e
:
Podemos racionalizar a fração:
Resposta
Os vértices da hipérbole são
e
. Os focos são
e
. As assíntotas são as retas
e
.