Determine em cada caso os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! O enunciado pede para encontrar os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a forma padrão das hipérboles e como identificar seus elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole é:
Onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado às assíntotas.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada para se parecer com a forma padrão. A equação é:
Primeiro, vamos isolar os termos com e :
Agora, dividimos todos os termos por 20 para obter 1 no lado direito:
Simplificando as frações:
Agora, temos a equação na forma padrão, onde , , e .

Passo 4

Agora que temos os valores de e , podemos encontrar os vértices. Os vértices de uma hipérbole que abre horizontalmente (como essa, já que o termo de é positivo) estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo .
Calculando :
Então, os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação:
Calculando :
Os focos também estão ao longo do eixo , a unidades do centro. Então:

Passo 6

Agora, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima à medida que e vão para infinito. A equação das assíntotas para uma hipérbole na forma padrão é:
Substituindo , , e :
Podemos racionalizar a fração:

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos são e . As assíntotas são as retas e .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo ao invés de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em , considere as definições dadas e a partir deles mostre se é um espaço vetorial:
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.

Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e .
Calcule .
Nos problemas a seguir, estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas.