Determine em cada caso os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! O enunciado pede para encontrar os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a forma padrão das hipérboles e como identificar seus elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole é:
Onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado às assíntotas.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação dada para se parecer com a forma padrão. A equação é:
Primeiro, vamos isolar os termos com e :
Agora, dividimos todos os termos por 20 para obter 1 no lado direito:
Simplificando as frações:
Agora, temos a equação na forma padrão, onde , , e .
Passo 4
Agora que temos os valores de e , podemos encontrar os vértices. Os vértices de uma hipérbole que abre horizontalmente (como essa, já que o termo de é positivo) estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo .
Calculando :
Então, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a relação:
Calculando :
Os focos também estão ao longo do eixo , a unidades do centro. Então:
Passo 6
Agora, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima à medida que e vão para infinito. A equação das assíntotas para uma hipérbole na forma padrão é:
Substituindo , , e :
Podemos racionalizar a fração:
Resposta
Os vértices da hipérbole são e . Os focos são e . As assíntotas são as retas e .