Determine em cada caso os vértices V1 e V2, os focos F1 e F2 e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
(e) x^2-y^2-8=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa hipérbole . Primeiro, vamos entender o que a questão pede: encontrar os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole. Para isso, vamos lembrar que uma hipérbole tem uma forma padrão que nos ajuda a identificar esses elementos importantes.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação da hipérbole para a forma padrão. A equação dada é x^28 - y^28 = 1 . Podemos rearrumar isso para ficar igual a 1:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Agora, temos a hipérbole na forma padrão:
Aqui, e , então e .

Passo 3

Os vértices de uma hipérbole nessa forma estão localizados a uma distância V1 = (a, 0) = (raiz8, 0) e V2 = (-a, 0) = (-raiz8, 0) do centro ao longo do eixo x. Como nossa hipérbole está centrada na origem (0,0), os vértices serão:

Passo 4

Para encontrar os focos, usamos a fórmula c = raiz8 + 8 = raiz16 = 4 . Substituindo os valores que já temos:
F1 = (c, 0) = (4, 0) e F2 = (-c, 0) = (-4, 0)
Então, os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo x:

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas pelas linhas:
y = pm bax
Substituindo y = pm raiz8raiz8x = pm x e :
Então, as assíntotas são as retas e .

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos são e . As assíntotas são as retas e .

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