Determine em cada caso os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa hipérbole
. Primeiro, vamos entender o que a questão pede: encontrar os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole. Para isso, vamos lembrar que uma hipérbole tem uma forma padrão que nos ajuda a identificar esses elementos importantes.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação da hipérbole para a forma padrão. A equação dada é
. Podemos rearrumar isso para ficar igual a 1:
Agora, temos a hipérbole na forma padrão:
Aqui,
e
, então
e
.
Passo 3
Os vértices de uma hipérbole nessa forma estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo x. Como nossa hipérbole está centrada na origem (0,0), os vértices serão:
Passo 4
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
. Substituindo os valores que já temos:
Então, os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo x:
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas pelas linhas:
Substituindo
e
:
Então, as assíntotas são as retas
e
.
Resposta
Os vértices da hipérbole são
e
. Os focos são
e
. As assíntotas são as retas
e
.
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e
c)
c)
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Encontre as coordenadas polares do ponto, onde
e
.
Encontre as coordenadas polares
Em cada item abaixo ao invés de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em
, considere as definições dadas e a partir deles mostre se
é um espaço vetorial: