Determine em cada caso os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa hipérbole . Primeiro, vamos entender o que a questão pede: encontrar os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole. Para isso, vamos lembrar que uma hipérbole tem uma forma padrão que nos ajuda a identificar esses elementos importantes.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação da hipérbole para a forma padrão. A equação dada é . Podemos rearrumar isso para ficar igual a 1:
Agora, temos a hipérbole na forma padrão:
Aqui, e , então e .

Passo 3

Os vértices de uma hipérbole nessa forma estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo x. Como nossa hipérbole está centrada na origem (0,0), os vértices serão:

Passo 4

Para encontrar os focos, usamos a fórmula . Substituindo os valores que já temos:
Então, os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo x:

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas pelas linhas:
Substituindo e :
Então, as assíntotas são as retas e .

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos são e . As assíntotas são as retas e .

Exercícios relacionados

Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.
Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de e
c)
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.

Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e .
Em cada item abaixo ao invés de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em , considere as definições dadas e a partir deles mostre se é um espaço vetorial: