Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular dois produtos escalares entre vetores: e . Isso envolve a matéria de produto escalar entre vetores. Para resolver, vamos precisar entender direitinho o que é produto escalar e como ele funciona com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
onde e são os comprimentos dos vetores, e é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores que a questão pediu. Primeiro, vamos calcular . Usando a fórmula do produto escalar:
Aqui, é o ângulo entre os vetores e .

Passo 4

Para calcular , vamos primeiro notar que é simplesmente o vetor invertido, ou seja:
Então, podemos escrever:

Passo 5

Então, juntando tudo, temos que:
e

Resposta

Portanto, os produtos escalares são:
e

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Determine em cada caso os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
(d)
Em cada item abaixo ao invés de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em , considere as definições dadas e a partir deles mostre se é um espaço vetorial:
Nos problemas a seguir, estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas.
Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto , com a operação usual de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por .