Em cada item abaixo marque com um a alternativa correta, em que C, D e I indicam Suponha que a série de potências convirja quando e divirja quando . Podemos afirmar que:
(a) A série

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma série de potências dada por que converge quando e diverge quando . Nosso objetivo é analisar a série e determinar se ela converge ©, diverge (D) ou é indeterminada (I).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a convergência da série original quando e a divergência quando . Isso nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série de potências.

Passo 3

A série de potências geral é da forma , onde é o centro da série. No nosso caso, , pois temos .

Passo 4

Sabemos que a série converge para valores de tais que , onde é o raio de convergência. Ela diverge quando .

Passo 5

Vamos calcular para os pontos dados:
  • Para : . A série converge, então .
  • Para : . A série diverge, então .

Passo 6

Com base nisso, podemos dizer que o raio de convergência está no intervalo .

Passo 7

Agora, queremos analisar a série . Podemos reescrever essa série como .

Passo 8

Para comparar com a série original, observamos que pode ser escrito como . Isso sugere que estamos avaliando a série original no ponto .

Passo 9

Calculando para : .

Passo 10

Comparando com o raio de convergência , vemos que . Portanto, , o que significa que a série diverge.

Resposta

(a) A série diverge.

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Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(a)
Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(a) erro
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(d)