Em cada item abaixo marque com um
a alternativa correta, em que C, D e I indicam Suponha que a série de potências
convirja quando
e divirja quando
. Podemos afirmar que:
(a) A série
(a) A série
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma série de potências dada por
que converge quando
e diverge quando
. Nosso objetivo é analisar a série
e determinar se ela converge ©, diverge (D) ou é indeterminada (I).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a convergência da série original quando
e a divergência quando
. Isso nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série de potências.
Passo 3
A série de potências geral é da forma
, onde
é o centro da série. No nosso caso,
, pois temos
.
Passo 4
Sabemos que a série converge para valores de
tais que
, onde
é o raio de convergência. Ela diverge quando
.
Passo 5
Vamos calcular
para os pontos dados:
- Para
: . A série converge, então . - Para
: . A série diverge, então .
Passo 6
Com base nisso, podemos dizer que o raio de convergência
está no intervalo
.
Passo 7
Agora, queremos analisar a série
. Podemos reescrever essa série como
.
Passo 8
Para comparar com a série original, observamos que
pode ser escrito como
. Isso sugere que estamos avaliando a série original no ponto
.
Passo 9
Calculando
para
:
.
Passo 10
Comparando com o raio de convergência
, vemos que
. Portanto,
, o que significa que a série
diverge.
Resposta
(a) A série
diverge.
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Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de
determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(a)
(a)
Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor
tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(a) erro
(a)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
(a)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(d)
(d)