Em cada item abaixo marque com um X a alternativa correta, em que C, D e I indicam Suponha que a série de potências sumk ak(x+2)^k convirja quando x=-4 e divirja quando x=-7. Podemos afirmar que:
(a) A série sumk 6^k ak () C () D () I

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma série de potências dada por que converge quando e diverge quando . Nosso objetivo é analisar a série e determinar se ela converge ©, diverge (D) ou é indeterminada (I).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a convergência da série original quando e a divergência quando . Isso nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série de potências.

Passo 3

A série de potências geral é da forma , onde é o centro da série. No nosso caso, , pois temos .

Passo 4

Sabemos que a série converge para valores de tais que , onde é o raio de convergência. Ela diverge quando .

Passo 5

Vamos calcular para os pontos dados:
  • Para : . A série converge, então .
  • Para : . A série diverge, então .

Passo 6

Com base nisso, podemos dizer que o raio de convergência está no intervalo .

Passo 7

Agora, queremos analisar a série . Podemos reescrever essa série como .

Passo 8

Para comparar com a série original, observamos que pode ser escrito como . Isso sugere que estamos avaliando a série original no ponto .

Passo 9

Calculando para : .

Passo 10

Comparando com o raio de convergência , vemos que . Portanto, , o que significa que a série diverge.

Resposta

(a) A série (C) (X) (D) (I) diverge.

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