Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especificamente sobre convergência absoluta e condicional, além de aplicar testes de comparação e alternância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “absolutamente convergente” e “condicionalmente convergente”. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dela convergir. Ou seja, se
converge, então
também converge absolutamente.
Se a série original
converge, mas a série dos valores absolutos
não converge, então dizemos que ela é condicionalmente convergente.
Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, então a série é divergente.
Passo 3
Vamos começar analisando a série dos valores absolutos:
Sabemos que o valor absoluto do seno está sempre entre 0 e 1, ou seja, .
Passo 4
Então, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que:
Agora, consideramos a série
. Esta é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Como
, a série
converge.
Passo 5
Pelo Teste da Comparação, já que e a série
converge, concluímos que a série dos valores absolutos também converge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois já temos a convergência absoluta.
Resposta
A série é absolutamente convergente.
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(a)
(a)
Em cada item abaixo marque com um
a alternativa correta, em que C, D e I indicam Suponha que a série de potências
convirja quando
e divirja quando
. Podemos afirmar que:
(a) A série
(a) A série
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(g)
(g)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(i)
(i)