Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(d) sumk=1^infty (-1)^k sen(5 k)k^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especificamente sobre convergência absoluta e condicional, além de aplicar testes de comparação e alternância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “absolutamente convergente” e “condicionalmente convergente”. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dela convergir. Ou seja, se converge, então também converge absolutamente.
Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então dizemos que ela é condicionalmente convergente.
Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, então a série é divergente.

Passo 3

Vamos começar analisando a série dos valores absolutos:
Sabemos que o valor absoluto do seno está sempre entre 0 e 1, ou seja, .

Passo 4

Então, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que:
Agora, consideramos a série |sen(5k)|k^3 <= 1k^3 . Esta é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série converge.

Passo 5

Pelo Teste da Comparação, já que e a série converge, concluímos que a série dos valores absolutos também converge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois já temos a convergência absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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