Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a) sumk=1^infty (-1)^k k ! e^k

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que devemos analisar a série sem o termo alternado, ou seja, .

Passo 3

Para testar a convergência dessa série sem considerar o sinal alternado, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
L = limk to infty (k+1)!e^k+1 times e^kk! = limk to infty (k+1) cdot k!e cdot e^k times e^kk! = limk to infty k+1e
Simplificando, temos:
L = limk to infty k+1e = infty
Como , segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Passo 5

Já que a série sem o termo alternado diverge, a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
  1. é decrescente.
  2. .
No nosso caso, .

Passo 7

Vamos analisar o limite de limk to infty k!e^k quando k!e^k approx k^k e^-k raiz2pi ke^k = k^k e^-2k raiz2pi k tende ao infinito:
(ke^2)^k raiz2pi k
Utilizando a aproximação de Stirling ( limk to infty k!e^k = infty ), temos:
Isso simplifica para:
À medida que cresce, tende a infinito, então:
Portanto, o limite não é zero.

Passo 8

Como , a série alternada não satisfaz o primeiro critério do Teste da Série Alternada. Isso significa que a série não é condicionalmente convergente.

Resposta

A série diverge.

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