Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que devemos analisar a série sem o termo alternado, ou seja, .

Passo 3

Para testar a convergência dessa série sem considerar o sinal alternado, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
Simplificando, temos:
Como , segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Passo 5

Já que a série sem o termo alternado diverge, a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
  1. é decrescente.
  2. .
No nosso caso, .

Passo 7

Vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
Utilizando a aproximação de Stirling ( ), temos:
Isso simplifica para:
À medida que cresce, tende a infinito, então:
Portanto, o limite não é zero.

Passo 8

Como , a série alternada não satisfaz o primeiro critério do Teste da Série Alternada. Isso significa que a série não é condicionalmente convergente.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo marque com um a alternativa correta, em que C, D e I indicam Suponha que a série de potências convirja quando e divirja quando . Podemos afirmar que:
(a) A série
Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(a)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(d)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(g)