Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que devemos analisar a série sem o termo alternado, ou seja,
.
Passo 3
Para testar a convergência dessa série sem considerar o sinal alternado, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
Simplificando, temos:
Como
, segundo o Teste da Razão, a série
diverge.
Passo 5
Já que a série sem o termo alternado diverge, a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 6
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se:
-
é decrescente. -
.
No nosso caso,
.
Passo 7
Vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Utilizando a aproximação de Stirling (
), temos:
Isso simplifica para:
À medida que
cresce,
tende a infinito, então:
Portanto, o limite não é zero.
Passo 8
Como
, a série alternada não satisfaz o primeiro critério do Teste da Série Alternada. Isso significa que a série não é condicionalmente convergente.
Resposta
A série
diverge.