Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de n determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(a) sumk=1^infty (-1)^kk raizk, n=8

Passo 1

Então, a gente tem uma série alternada aí: . O problema pede pra gente achar uma cota superior pro erro absoluto quando a gente aproxima a soma total da série usando a soma parcial até o termo . Pra resolver isso, vamos usar o teste da série alternada, que é uma ferramenta da matemática para séries que alternam sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos têm sinais que mudam de positivo pra negativo ou vice-versa. No nosso caso, o termo alterna o sinal porque o muda de positivo pra negativo conforme aumenta.

Passo 3

O teste da série alternada diz que se os termos da série, em módulo, estão diminuindo e tendem a zero, então a série converge. Além disso, ele nos dá uma forma de estimar o erro quando aproximamos a soma da série pela soma parcial até o termo . Esse erro é no máximo igual ao primeiro termo que a gente não somou, ou seja, o termo .

Passo 4

Vamos aplicar isso no nosso caso. Queremos a cota superior do erro quando usamos a soma parcial at�� | (-1)^99 raiz9 | = 19 times 3 = 127 . Então, o erro vai ser no máximo o valor absoluto do termo . Calculando esse termo:

Passo 5

Portanto, a cota superior do erro absoluto é , que é aproximadamente .

Resposta

A cota superior do erro absoluto é .

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