Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(a)

Passo 1

Então, a gente tem uma série alternada aí: . O problema pede pra gente achar uma cota superior pro erro absoluto quando a gente aproxima a soma total da série usando a soma parcial até o termo . Pra resolver isso, vamos usar o teste da série alternada, que é uma ferramenta da matemática para séries que alternam sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos têm sinais que mudam de positivo pra negativo ou vice-versa. No nosso caso, o termo alterna o sinal porque o muda de positivo pra negativo conforme aumenta.

Passo 3

O teste da série alternada diz que se os termos da série, em módulo, estão diminuindo e tendem a zero, então a série converge. Além disso, ele nos dá uma forma de estimar o erro quando aproximamos a soma da série pela soma parcial até o termo . Esse erro é no máximo igual ao primeiro termo que a gente não somou, ou seja, o termo .

Passo 4

Vamos aplicar isso no nosso caso. Queremos a cota superior do erro quando usamos a soma parcial at�� . Então, o erro vai ser no máximo o valor absoluto do termo . Calculando esse termo:

Passo 5

Portanto, a cota superior do erro absoluto é , que é aproximadamente .

Resposta

A cota superior do erro absoluto é .

Exercícios relacionados

Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(a) erro
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(h)
Em cada item abaixo marque com um a alternativa correta, em que C, D e I indicam Suponha que a série de potências convirja quando e divirja quando . Podemos afirmar que:
(a) A série
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)