Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor n tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(a) sumk=1^infty (-1)^kk raizk, mid erro mid <= 0,001

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar um valor de tal que a soma parcial da série alternada se aproxime da soma total da série com um erro no máximo de . Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a estimar esse erro.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que, se temos uma série da forma , onde é uma sequência positiva que está decrescendo e tende a zero, então a soma da série está entre a soma parcial e . Ou seja, o erro é no máximo .

Passo 3

No nosso caso, a série é . Aqui, . Precisamos encontrar tal que .

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade 1 <= 0,001 times (n+1)^3/2 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para obter:

Passo 5

Agora, dividimos ambos os lados por 10,001 <= (n+1)^3/2 :
1000 <= (n+1)^3/2

Passo 6

Para resolver para 1000^23 <= n+1 , elevamos ambos os lados à potência (10^3)^23 = 10^2 = 100 :
100 <= n+1
Sabendo que , temos:
Então:

Passo 7

Subtraindo 1 de ambos os lados, encontramos:
n >= 99
Como deve ser inteiro, o menor valor que satisfaz a condição é .

Resposta

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