Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor
tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(a)
erro
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar um valor de
tal que a soma parcial da série alternada
se aproxime da soma total da série com um erro no máximo de
. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a estimar esse erro.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que, se temos uma série da forma
, onde
é uma sequência positiva que está decrescendo e tende a zero, então a soma da série está entre a soma parcial
e
. Ou seja, o erro
é no máximo
.
Passo 3
No nosso caso, a série é
. Aqui,
. Precisamos encontrar
tal que
.
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para obter:
Passo 5
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Para resolver para
, elevamos ambos os lados à potência
:
Sabendo que
, temos:
Então:
Passo 7
Subtraindo 1 de ambos os lados, encontramos:
Como
deve ser inteiro, o menor valor que satisfaz a condição é
.