Para cada item abaixo, mostre que a função dada tem, pelo menos, uma raiz no intervalo dado.
(a) f(x) = x^3 + x - 1 ; [0,1];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para mostrar que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo . Pra isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo e muda de sinal nas extremidades desse intervalo, então ela deve cruzar o eixo x em algum ponto dentro desse intervalo. Vamos precisar verificar se a função é contínua e se de fato muda de sinal entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no intervalo . Uma função polinomial, como essa, é contínua em todos os pontos do seu domínio. Então, podemos afirmar que é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores da função nas extremidades do intervalo. Primeiro, em :
Depois, em :
Então, temos que e .

Passo 4

Observamos que a função muda de sinal entre e , passando de negativo para positivo. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se a função é contínua e muda de sinal nas extremidades do intervalo, então existe pelo menos um ponto dentro desse intervalo onde , ou seja, uma raiz.

Resposta

Portanto, a função tem pelo menos uma raiz no intervalo .

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