Para cada item abaixo, mostre que a função dada tem, pelo menos, uma raiz no intervalo dado.
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Pra isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo e muda de sinal nas extremidades desse intervalo, então ela deve cruzar o eixo x em algum ponto dentro desse intervalo. Vamos precisar verificar se a função é contínua e se de fato muda de sinal entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua no intervalo
. Uma função polinomial, como essa, é contínua em todos os pontos do seu domínio. Então, podemos afirmar que
é contínua nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores da função nas extremidades do intervalo. Primeiro, em
:
Depois, em
:
Então, temos que
e
.
Passo 4
Observamos que a função muda de sinal entre
e
, passando de negativo para positivo. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se a função é contínua e muda de sinal nas extremidades do intervalo, então existe pelo menos um ponto
dentro desse intervalo onde
, ou seja, uma raiz.
Resposta
Portanto, a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.