Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) A função
tem uma descontinuidade removível em
e
pode ser redefinida como uma nova função contínua em 1 por:
(a) ( ) A função
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado. Temos a função
e queremos saber se ela apresenta uma descontinuidade removível em
. Além disso, o enunciado sugere redefinir a função como
de uma forma que ela fique contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e descontinuidades removíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento de
quando
se aproxima de 1. Substituindo
na função, temos:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos calcular o limite de
quando
tende a 1.
Passo 3
Para calcular o limite
, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil em casos de indeterminação do tipo
. A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 4
Então, o limite de
quando
se aproxima de 1 é
. Isso significa que a função
tem uma descontinuidade removível em
, já que podemos redefinir o valor da função nesse ponto para que ela se torne contínua.
Passo 5
Agora, vamos redefinir a função como
da seguinte forma:
Com essa redefinição,
fica contínua em
, porque o valor definido para
é exatamente o limite da função original nesse ponto.
Resposta
Verdadeiro. A função
tem uma descontinuidade removível em
e pode ser redefinida como
para ser contínua nesse ponto.