Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) A função tem uma descontinuidade removível em e pode ser redefinida como uma nova função contínua em 1 por:

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado. Temos a função e queremos saber se ela apresenta uma descontinuidade removível em . Além disso, o enunciado sugere redefinir a função como de uma forma que ela fique contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e descontinuidades removíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento de quando se aproxima de 1. Substituindo na função, temos:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos calcular o limite de quando tende a 1.

Passo 3

Para calcular o limite , podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil em casos de indeterminação do tipo . A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a regra de L’Hôpital:

Passo 4

Então, o limite de quando se aproxima de 1 é . Isso significa que a função tem uma descontinuidade removível em , já que podemos redefinir o valor da função nesse ponto para que ela se torne contínua.

Passo 5

Agora, vamos redefinir a função como da seguinte forma:
Com essa redefinição, fica contínua em , porque o valor definido para é exatamente o limite da função original nesse ponto.

Resposta

Verdadeiro. A função tem uma descontinuidade removível em e pode ser redefinida como para ser contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados

Determine o valor de quando:
(a)
Para cada item abaixo, mostre que a função dada tem, pelo menos, uma raiz no intervalo dado.
(a) ;

é contínua em todos os pontos.
Usando a definição de limite, demonstre que
(a)