Qual o valor de para que a função definida por:
seja contínua.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de que torna a função contínua em todo o seu domínio. Isso envolve entender o que é continuidade e como aplicá-la nessa função que tem três partes diferentes. Para resolver, vamos precisar dos conceitos de limites e de continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função não tenha “quebras” ou “saltos” no ponto , já que é onde a definição da função muda. Para isso, vamos verificar os limites da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ), e igualar esses limites ao valor da função em , que é .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
Podemos simplificar a expressão no denominador: . Assim, temos:
Notamos que , então a expressão fica:
Esse limite é conhecido e utiliza a propriedade:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
Substituindo :
Como obtemos uma forma indeterminada , usamos a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite novamente.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Agora, calculamos o limite:
Substituindo :
A forma indeterminada persiste, então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Derivando novamente o numerador:
Derivando novamente o denominador:
Calculamos o limite novamente:
Substituindo :

Passo 5

Agora que temos os dois limites:
Para que a função seja contínua em , o valor da função nesse ponto ( ) deve ser igual a esses limites. Ou seja:

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

Exercícios relacionados

Considere a função dada por:
Usando o Teorema do Confronto, mostre que a função dada abaixo é contínua em .
Calcule os seguintes limites:
(a)
Para cada item abaixo, mostre que a função dada tem, pelo menos, uma raiz no intervalo dado.
(a) ;
Determine o valor de quando:
(a)