Qual o valor de m para que a função g: R longrightarrow R definida por:
g(x)= sen(11 x-22)3 x-6, & se x<2 m, & se x=2 x^3+5 x^2-32 x+36x^3-3 x^2+4, & se x>2
seja contínua.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de que torna a função contínua em todo o seu domínio. Isso envolve entender o que é continuidade e como aplicá-la nessa função que tem três partes diferentes. Para resolver, vamos precisar dos conceitos de limites e de continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função não tenha “quebras” ou “saltos” no ponto , já que é onde a definição da função muda. Para isso, vamos verificar os limites da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ), e igualar esses limites ao valor da função em , que é .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando limx to 2^- sen(11x - 22)3x - 6 se aproxima de 2 pela esquerda ( limx to 2^- sen(11x - 22)3(x - 2) ):
Podemos simplificar a expressão no denominador: limx to 2^- sen[11(x - 2)]3(x - 2) . Assim, temos:
Notamos que limu to 0 sen(u)u = 1 , então a expressão fica:
Esse limite é conhecido e utiliza a propriedade:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 2^+ x^3 + 5x^2 - 32x + 36x^3 - 3x^2 + 4 se aproxima de 2 pela direita ( 2^3 + 5(2)^2 - 32(2) + 362^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 + 20 - 64 + 368 - 12 + 4 = 00 ):
ddx(x^3 + 5x^2 - 32x + 36) = 3x^2 + 10x - 32
Substituindo ddx(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x :
limx to 2^+ 3x^2 + 10x - 323x^2 - 6x
Como obtemos uma forma indeterminada 3(2)^2 + 10(2) - 323(2)^2 - 6(2) = 12 + 20 - 3212 - 12 = 00 , usamos a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite novamente.
Derivando o numerador:
ddx(3x^2 + 10x - 32) = 6x + 10
Derivando o denominador:
ddx(3x^2 - 6x) = 6x - 6
Agora, calculamos o limite:
limx to 2^+ 6x + 106x - 6
Substituindo 6(2) + 106(2) - 6 = 12 + 1012 - 6 = 226 = 113 :
A forma indeterminada persiste, então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Derivando novamente o numerador:
Derivando novamente o denominador:
Calculamos o limite novamente:
Substituindo :

Passo 5

Agora que temos os dois limites:
limx to 2^- g(x) = 113
limx to 2^+ g(x) = 113
Para que a função seja contínua em m = 113 , o valor da função nesse ponto ( ) deve ser igual a esses limites. Ou seja:

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

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