Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de que torna a função contínua em todo o seu domínio. Isso envolve entender o que é continuidade e como aplicá-la nessa função que tem três partes diferentes. Para resolver, vamos precisar dos conceitos de limites e de continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função não tenha “quebras” ou “saltos” no ponto , já que é onde a definição da função muda. Para isso, vamos verificar os limites da função quando se aproxima de 2 pela esquerda () e pela direita (), e igualar esses limites ao valor da função em , que é .
Passo 3
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ():
Podemos simplificar a expressão no denominador: . Assim, temos:
Notamos que , então a expressão fica:
Esse limite é conhecido e utiliza a propriedade:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita ():
Substituindo :
Como obtemos uma forma indeterminada , usamos a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite novamente.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Agora, calculamos o limite:
Substituindo :
A forma indeterminada persiste, então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Derivando novamente o numerador:
Derivando novamente o denominador:
Calculamos o limite novamente:
Substituindo :
Passo 5
Agora que temos os dois limites:
Para que a função seja contínua em , o valor da função nesse ponto () deve ser igual a esses limites. Ou seja: