Considere a função
dada por:
Usando o Teorema do Confronto, mostre que a função
dada abaixo é contínua em
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício quer a gente provar que a função
é contínua em
usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze. Primeiro, vamos entender o que é continuidade e o que a função
faz.
A função é definida assim:
Queremos mostrar que quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de
. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto.
Passo 2
Antes de resolver, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Ele diz que se temos três funções onde uma fica sempre no meio das outras duas, e as duas extremidades têm o mesmo limite em certo ponto, então a função do meio também tem esse limite.
Matematicamente, se
para todo
perto de
(exceto possivelmente em
), e
, então
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função. Primeiro, observamos que sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por
(que é sempre positivo), temos:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite das funções que estão em cima e embaixo, ou seja,
e
.
Calculando:
Então, tanto a função de baixo quanto a de cima têm o limite 0 quando
se aproxima de 0.
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, como
e ambos os limites das extremidades são 0, podemos concluir que:
E já sabemos que
. Então, o limite da função quando
se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0.
Resposta
A função
é contínua em
.