Considere a função f: R R dada por:
f(x)=rll x^2 sen(1x), & se & x neq 0 0, & se & x=0
Usando o Teorema do Confronto, mostre que a função f dada abaixo é contínua em x=0.

Passo 1

Vamos lá! O exercício quer a gente provar que a função f(x)=rll x^2 cdot sen(1x), & se & x neq 0 0, & se & x=0 é contínua em usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze. Primeiro, vamos entender o que é continuidade e o que a função faz.
A função é definida assim:
Queremos mostrar que quando se aproxima de 0, também se aproxima de . Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto.

Passo 2

Antes de resolver, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Ele diz que se temos três funções onde uma fica sempre no meio das outras duas, e as duas extremidades têm o mesmo limite em certo ponto, então a função do meio também tem esse limite.
Matematicamente, se para todo perto de (exceto possivelmente em ), e , então .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Primeiro, observamos que sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por -1 <= sen(1x) <= 1 (que é sempre positivo), temos:
Isso significa que:
- x^2 <= x^2 cdot sen(1x) <= x^2

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite das funções que estão em cima e embaixo, ou seja, limx to 0 (-x^2) = 0 e limx to 0 x^2 = 0 e .
Calculando:
Então, tanto a função de baixo quanto a de cima têm o limite 0 quando se aproxima de 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como limx to 0 f(x) = 0 e ambos os limites das extremidades são 0, podemos concluir que:
E já sabemos que . Então, o limite da função quando se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0.

Resposta

A função é contínua em .

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