Usando o Teorema do Confronto, mostre que a função dada abaixo é contínua em .
Passo 1
Vamos lá! O exercício quer a gente provar que a função é contínua em usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze. Primeiro, vamos entender o que é continuidade e o que a função faz.
A função é definida assim:
Queremos mostrar que quando se aproxima de 0, também se aproxima de . Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto.
Passo 2
Antes de resolver, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Ele diz que se temos três funções onde uma fica sempre no meio das outras duas, e as duas extremidades têm o mesmo limite em certo ponto, então a função do meio também tem esse limite.
Matematicamente, se para todo perto de (exceto possivelmente em ), e , então .
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função. Primeiro, observamos que sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por (que é sempre positivo), temos:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite das funções que estão em cima e embaixo, ou seja, e .
Calculando:
Então, tanto a função de baixo quanto a de cima têm o limite 0 quando se aproxima de 0.
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, como e ambos os limites das extremidades são 0, podemos concluir que:
E já sabemos que . Então, o limite da função quando se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0.