Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
i) x^2 y'' + x y' + (x^2 - 1/4) y = 0, x > 0, y1(x) = sen(x) / raiz(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Sabemos que uma solução dessa equação é:
Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução, y2(x), que seja linearmente independente de y1(x). Para isso, vamos usar o método da redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma nova solução a partir de uma solução conhecida.

Passo 2

No método da redução de ordem, assumimos que a segunda solução pode ser escrita como:
Aqui, v(x) é uma função que precisamos determinar. Como já conhecemos y1(x), nosso trabalho é encontrar v(x) que nos dará outra solução da EDO.

Passo 3

Primeiro, vamos substituir y2(x) na EDO. Precisamos calcular as derivadas de y2(x):
Agora, substituímos y2, , e na equação original:

Passo 4

Simplificando a expressão, agrupamos os termos:
Mas como y1(x) é uma solução da EDO original, sabemos que:
Portanto, o termo multiplicado por v se anula, restando:

Passo 5

Para simplificar a equação, dividimos tudo por :
Vamos definir uma nova função , o que nos leva a uma equação de primeira ordem:

Passo 6

Essa é uma equação linear de primeira ordem para u. Podemos resolver usando um fator integrante. A equação tem a forma:
onde:
O fator integrante é:

Passo 7

Calculando P(x):
Primeiro, calculamos :
Derivando em relação a x:
Simplificando:
Agora, computando :
Portanto:

Passo 8

Agora, o fator integrante é:
Multiplicamos a equação original por mu(x):
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Portanto:

Passo 9

Lembrando que , temos:
Integrando em relação a x para encontrar v(x):
Onde D é uma constante de integração, que podemos desprezar para encontrar uma solução particular.

Passo 10

Então, a segunda solução é:
Podemos simplificar, deixando :

Resposta

A segunda solução linearmente independente é:

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