Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
i)
.
i)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Sabemos que uma solução dessa equação é:
Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução,
, que seja linearmente independente de
. Para isso, vamos usar o método da redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma nova solução a partir de uma solução conhecida.
Passo 2
No método da redução de ordem, assumimos que a segunda solução pode ser escrita como:
Aqui,
é uma função que precisamos determinar. Como já conhecemos
, nosso trabalho é encontrar
que nos dará outra solução da EDO.
Passo 3
Primeiro, vamos substituir
na EDO. Precisamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
, e
na equação original:
Passo 4
Simplificando a expressão, agrupamos os termos:
Mas como
é uma solução da EDO original, sabemos que:
Portanto, o termo multiplicado por
se anula, restando:
Passo 5
Para simplificar a equação, dividimos tudo por
:
Vamos definir uma nova função
, o que nos leva a uma equação de primeira ordem:
Passo 6
Essa é uma equação linear de primeira ordem para
. Podemos resolver usando um fator integrante. A equação tem a forma:
onde:
O fator integrante é:
Passo 7
Calculando
:
Primeiro, calculamos
:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Agora, computando
:
Portanto:
Passo 8
Agora, o fator integrante é:
Multiplicamos a equação original por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Portanto:
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Integrando em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma constante de integração, que podemos desprezar para encontrar uma solução particular.
Passo 10
Então, a segunda solução é:
Podemos simplificar, deixando
:
Resposta
A segunda solução linearmente independente é: