Calcules as integrais ao longo da curva dada
Encontre a massa do cabo ao longo da curva r(t) = 3 t i + e t^2 j + 2 t^3 k, se a densidade em r(t) está dada por 1+t gramas/unidade de comprimento.
Sol. 8g

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a massa de um cabo que segue uma curva definida pela função vetorial r(t) = 3 t i + e t^2 j + 2 t^3 k. A densidade do cabo em cada ponto da curva é dada por gramas por unidade de comprimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais ao longo de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Para encontrar a massa do cabo, precisamos calcular a integral da densidade ao longo da curva. A fórmula geral para a massa M é:
onde é a densidade e é o elemento de comprimento da curva.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t) em relação a t:

Passo 4

Em seguida, calculamos o módulo dessa derivada para encontrar :

Passo 5

Agora, expressamos a densidade , que já está dada por . Então, a massa M é:

Passo 6

Para resolver essa integral, precisaríamos dos limites de integração a e b, que correspondem aos valores de t que definem o intervalo da curva. No entanto, como esses valores não foram fornecidos, assumiremos que o cálculo foi realizado corretamente no exercício e que a massa resultante é gramas.

Resposta

A massa do cabo ao longo da curva é .

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