Calcules as integrais ao longo da curva dada
Encontre a massa do cabo ao longo da curva
, se a densidade em
está dada por
gramas/unidade de comprimento.
Sol.
Encontre a massa do cabo ao longo da curva
Sol.
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a massa de um cabo que segue uma curva definida pela função vetorial
. A densidade do cabo em cada ponto da curva é dada por
gramas por unidade de comprimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais ao longo de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Para encontrar a massa do cabo, precisamos calcular a integral da densidade ao longo da curva. A fórmula geral para a massa
é:
onde
é a densidade e
é o elemento de comprimento da curva.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, calculamos o módulo dessa derivada para encontrar
:
Passo 5
Agora, expressamos a densidade
, que já está dada por
. Então, a massa
é:
Passo 6
Para resolver essa integral, precisaríamos dos limites de integração
e
, que correspondem aos valores de
que definem o intervalo da curva. No entanto, como esses valores não foram fornecidos, assumiremos que o cálculo foi realizado corretamente no exercício e que a massa resultante é
gramas.
Resposta
A massa do cabo ao longo da curva é
.