Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Encontre
tal que
quando
.
(b) Encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação (parte a) e depois descobrir o valor de
que faz com que
(parte b).
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) e encontrar a solução geral da equação diferencial. A equação dada é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa formando a equação característica associada a essa equação.
Passo 3
A equação característica para
é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Substituindo:
Os valores de
são complexos conjugados:
e
.
Passo 5
Quando a equação característica tem raízes complexas do tipo
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
. Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. Sabemos que
e
.
Primeiro, aplicando
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
para aplicar a segunda condição. Derivando
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição
:
Portanto:
Passo 9
Com os valores de
e
encontrados, a solução geral fica:
Isso responde a parte a).
Passo 10
Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar o valor de
tal que
. Vamos usar a solução que encontramos e substituir
:
Passo 11
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, isolamos o termo que contém
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 12
Agora, isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Finalmente, subtraindo 2:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
E o valor de
que satisfaz
é: