Considere o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 6y = 0, y(0) = 2, y'(0) = alpha ≥ 0
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Encontre alpha tal que y = 1 quando t = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação (parte a) e depois descobrir o valor de que faz com que (parte b).

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) e encontrar a solução geral da equação diferencial. A equação dada é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa formando a equação característica associada a essa equação.

Passo 3

A equação característica para é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Substituindo:
Os valores de são complexos conjugados: e .

Passo 5

Quando a equação característica tem raízes complexas do tipo , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e . Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . Sabemos que e .
Primeiro, aplicando :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar para aplicar a segunda condição. Derivando :
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição :
Portanto:

Passo 9

Com os valores de e encontrados, a solução geral fica:
Isso responde a parte a).

Passo 10

Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar o valor de tal que . Vamos usar a solução que encontramos e substituir :

Passo 11

Vamos resolver essa equação para . Primeiro, isolamos o termo que contém :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 12

Agora, isolamos :
Dividindo ambos os lados por :
Finalmente, subtraindo 2:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
E o valor de que satisfaz é:

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