Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule integralC x^2 d s, ao longo da linha de interseção dos dois planos x-y+z=0 e x+y+2 z=0, desde a origem até o ponto (3,1,-2)
Sol. 3 raiz14

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema de cálculo que envolve integrais ao longo de uma curva. A gente precisa calcular a integral de em relação ao comprimento da curva , que é a interseção dos planos e , indo da origem até o ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva x - y + z = 0 x + y + 2z = 0 , que é a interseção dos dois planos dados. Para isso, podemos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para expressar e em termos de .

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
(x + y + 2z) - (x - y + z) = 0 2y + z = 0 z = -2y
Agora, substituímos x - y + (-2y) = 0 x - 3y = 0 x = 3y na primeira equação:

Passo 4

Então, temos que x(t) = 3t y(t) = t z(t) = -2t e . Vamos escolher como nosso parâmetro . Assim, podemos escrever a parametrização da curva como:
Onde varia de 0 até o valor que faz , ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de cada componente da parametrização em relação a dxdt = 3 dydt = 1 dzdt = -2 :

Passo 6

O diferencial de comprimento ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 + ( dzdt )^2 , dt ds = raiz3^2 + 1^2 + (-2)^2 , dt ds = raiz9 + 1 + 4 , dt ds = raiz14 , dt ao longo da curva é dado por:

Passo 7

Agora, substituímos integralC x^2 , ds = integral0^1 (3t)^2 cdot raiz14 , dt = 9 raiz14 integral0^1 t^2 , dt na integral:

Passo 8

Calculando a integral:
integral0^1 t^2 , dt = [ t^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13

Passo 9

Multiplicando tudo, temos:
9 raiz14 cdot 13 = 3 raiz14

Resposta

A integral é igual a .

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