Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule , ao longo da linha de interseção dos dois planos e , desde a origem até o ponto
Sol.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um problema de cálculo que envolve integrais ao longo de uma curva. A gente precisa calcular a integral de em relação ao comprimento da curva , que é a interseção dos planos e , indo da origem até o ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva , que é a interseção dos dois planos dados. Para isso, podemos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para expressar e em termos de .
Passo 3
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Agora, substituímos na primeira equação:
Passo 4
Então, temos que e . Vamos escolher como nosso parâmetro . Assim, podemos escrever a parametrização da curva como:
Onde varia de 0 até o valor que faz , ou seja, .
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de cada componente da parametrização em relação a dxdt = 3 dydt = 1 dzdt = -2 :
Passo 6
O diferencial de comprimento ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 + ( dzdt )^2 , dt ds = raiz3^2 + 1^2 + (-2)^2 , dt ds = raiz9 + 1 + 4 , dt ds = raiz14 , dt ao longo da curva é dado por: