Considere a curva de equação
12 x y = 4 y^4 + 3, 1 <= y <= 2
Utilizando os conceitos apresentados na disciplina, calcule o comprimento desta curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação e quer descobrir o comprimento dela quando varia de 1 a 2. Vamos usar cálculo, especialmente o conceito de comprimento de arco, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar em função de . A equação dada é . Vamos isolar :

Passo 3

Agora, para calcular o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco em termos de :
Onde e são os limites para .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a , . A função é:
Agora, derivamos termo a termo:

Passo 5

Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:

Passo 6

Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então vamos usar métodos numéricos ou uma calculadora para avaliar:

Resposta

O comprimento da curva no intervalo de de 1 a 2 é aproximadamente 2,497 unidades.

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