Considere a curva de equação
Utilizando os conceitos apresentados na disciplina, calcule o comprimento desta curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação
e quer descobrir o comprimento dela quando
varia de 1 a 2. Vamos usar cálculo, especialmente o conceito de comprimento de arco, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
em função de
. A equação dada é
. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, para calcular o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco em termos de
:
Onde
e
são os limites para
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
,
. A função
é:
Agora, derivamos termo a termo:
Passo 5
Substituímos
na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então vamos usar métodos numéricos ou uma calculadora para avaliar:
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo de
de 1 a 2 é aproximadamente 2,497 unidades.