Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
h) x^2 y'' - (x - 3/16) y = 0, x > 0, y1(x) = x^(1/4) e^(2 raiz(x)),

Passo 1

Vamos resumir o enunciado. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
Sabemos que uma solução dessa EDO é:
Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente de , utilizando o método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a EDO na forma padrão. Dividindo ambos os lados por :
Assim, a equação fica na forma:
onde:
  • (não há termo com )

Passo 3

Como já temos uma solução , podemos usar o método de redução de ordem para encontrar .
A fórmula geral para a segunda solução é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos calcular :
Então:

Passo 5

Agora, vamos integrar:
Fazemos a substituição , então e . Substituindo:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :
Como a constante multiplicativa não afeta a linearidade, podemos simplificar a solução:

Resposta

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