Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
h)
,
h)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
Sabemos que uma solução dessa EDO é:
Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução
que seja linearmente independente de
, utilizando o método de redução de ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a EDO na forma padrão. Dividindo ambos os lados por
:
Assim, a equação fica na forma:
onde:
-
(não há termo com ) -
Passo 3
Como já temos uma solução
, podemos usar o método de redução de ordem para encontrar
.
A fórmula geral para a segunda solução é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos calcular
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos integrar:
Fazemos a substituição
, então
e
. Substituindo:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Como a constante multiplicativa não afeta a linearidade, podemos simplificar a solução:
Resposta
Exercícios relacionados
Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(f) Obtenha a fórmula de Euler.
(f) Obtenha a fórmula de Euler.
Verifique que as soluções
e
são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
c) ,
c)
Calcule, usando mudança de variáveis em integrais duplas, a seguinte integral dupla:
onde, D é a parte do disco de raio
situado no primeiro e segundo quadrantes.
Determine o valor da integral de linha
onde C é a curva dada pela interseção das superfícies
e
.