Verifique que as soluções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
c) (1 - x cotg(x)) y'' - x y' + y = 0,
0 < x < pi, y1(x) = x, y2(x) = sen(x)

Passo 1

Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse exercício de equação diferencial. A gente precisa verificar se as funções e são soluções da equação diferencial dada:
Além disso, vamos ver se essas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de e , substituir na equação e depois verificar a independência linear delas usando o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de .
Calculando as derivadas de :

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Simplificando:
Isso confirma que é realmente uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Vamos repetir o mesmo processo para .
Calculando as derivadas de :

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
Observe que e se cancelam:
Sabemos que , então:
Simplificando:
Isso confirma que também é uma solução da equação diferencial.

Passo 6

Agora que sabemos que ambas e são soluções da equação, vamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos calcular o Wronskiano .
O Wronskiano é dado por:
Substituindo:

Passo 7

Para que e formem um conjunto fundamental de soluções, o Wronskiano não deve ser zero no intervalo considerado .
Vamos analisar .
Note que para , e são funções contínuas e a combinação não se anula nesse intervalo (às exceções nos pontos onde , mas aqui isso não ocorre de forma geral).
Como o Wronskiano não é identicamente zero no intervalo, concluímos que e são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.

Resposta

Sim, e são soluções da equação diferencial dada e formam um conjunto fundamental de soluções.

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