Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
c) ,

Passo 1

Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse exercício de equação diferencial. A gente precisa verificar se as funções e são soluções da equação diferencial dada:
Além disso, vamos ver se essas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de e , substituir na equação e depois verificar a independência linear delas usando o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de .
Calculando as derivadas de :

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Simplificando:
Isso confirma que é realmente uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Vamos repetir o mesmo processo para .
Calculando as derivadas de :

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
Observe que e se cancelam:
Sabemos que , então:
Simplificando:
Isso confirma que também é uma solução da equação diferencial.

Passo 6

Agora que sabemos que ambas e são soluções da equação, vamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos calcular o Wronskiano .
O Wronskiano é dado por:
Substituindo:

Passo 7

Para que e formem um conjunto fundamental de soluções, o Wronskiano não deve ser zero no intervalo considerado .
Vamos analisar .
Note que para , e são funções contínuas e a combinação não se anula nesse intervalo (às exceções nos pontos onde , mas aqui isso não ocorre de forma geral).
Como o Wronskiano não é identicamente zero no intervalo, concluímos que e são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.

Resposta

Sim, e são soluções da equação diferencial dada e formam um conjunto fundamental de soluções.

Exercícios relacionados

Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(b) Em seguida, prove que também é solução de .
Dado um PVI do tipo
,
onde e são funções contínuas em um intervalo aberto contendo o ponto (ou seja, ), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso, determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(f) Obtenha a fórmula de Euler.
Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
h) ,