Determine o valor da integral de linha integralC(y^2+z^2-x) d s onde C é a curva dada pela interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=6 x e x=3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha integralC(y^2+z^2-x) d s, onde a curva C é a interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=6x e x=3. Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais de linha. Vamos precisar entender como essas superfícies se intersectam para definir a curva C e depois calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera x^2+y^2+z^2=6x. Podemos completar o quadrado para facilitar:
x^2 - 6x + y^2 + z^2 = 0 (x - 3)^2 - 9 + y^2 + z^2 = 0 (x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 9
Isso mostra que a esfera tem centro em (3, 0, 0) e raio 3.

Passo 3

A curva C é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=6x com o plano x=3. Substituindo x=3 na equação da esfera:
(3 - 3)^2 + y^2 + z^2 = 9 y^2 + z^2 = 9
Isso significa que C é um círculo no plano x=3 com raio 3.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função que está sendo integrada na integral de linha: y^2 + z^2 - x. Na curva C, já sabemos que y^2 + z^2 = 9 e x=3. Portanto:
y^2 + z^2 - x = 9 - 3 = 6
Isso simplifica a integral para integralC 6 , ds.

Passo 5

Para calcular a integral integralC 6 , ds, precisamos encontrar o comprimento da curva C. Como C é um círculo de raio 3, seu comprimento é dado por:
Comprimento = 2pi r = 2pi times 3 = 6pi
Então, a integral fica:
integralC 6 , ds = 6 times 6pi = 36pi

Resposta

O valor da integral é 36pi.

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