Determine o valor da integral de linha
onde C é a curva dada pela interseção das superfícies
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha
, onde a curva C é a interseção das superfícies
e
. Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais de linha. Vamos precisar entender como essas superfícies se intersectam para definir a curva C e depois calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera
. Podemos completar o quadrado para facilitar:
Isso mostra que a esfera tem centro em
e raio 3.
Passo 3
A curva C é a interseção da esfera
com o plano
. Substituindo
na equação da esfera:
Isso significa que C é um círculo no plano
com raio 3.
Passo 4
Agora, vamos analisar a função que está sendo integrada na integral de linha:
. Na curva C, já sabemos que
e
. Portanto:
Isso simplifica a integral para
.
Passo 5
Para calcular a integral
, precisamos encontrar o comprimento da curva C. Como C é um círculo de raio 3, seu comprimento é dado por:
Então, a integral fica:
Resposta
O valor da integral é
.