Determine o valor da integral de linha
onde C é a curva dada pela interseção das superfícies
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha
, onde a curva C é a interseção das superfícies
e
. Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais de linha. Vamos precisar entender como essas superfícies se intersectam para definir a curva C e depois calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera
. Podemos completar o quadrado para facilitar:
Isso mostra que a esfera tem centro em
e raio 3.
Passo 3
A curva C é a interseção da esfera
com o plano
. Substituindo
na equação da esfera:
Isso significa que C é um círculo no plano
com raio 3.
Passo 4
Agora, vamos analisar a função que está sendo integrada na integral de linha:
. Na curva C, já sabemos que
e
. Portanto:
Isso simplifica a integral para
.
Passo 5
Para calcular a integral
, precisamos encontrar o comprimento da curva C. Como C é um círculo de raio 3, seu comprimento é dado por:
Então, a integral fica:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule, usando mudança de variáveis em integrais duplas, a seguinte integral dupla:
onde, D é a parte do disco de raio
situado no primeiro e segundo quadrantes.
Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
h) ,
h)
Seja
um campo vetorial. Determine a integral
onde
é a curva definida pela interseção das superfícies
e
do ponto
ao ponto
.
Seja
um campo vetorial. O campo
é conservativo? Justifique sua resposta.