Calcule, usando mudança de variáveis em integrais duplas, a seguinte integral dupla:
I=integral duplaD x y d x d y
onde, D é a parte do disco de raio R situado no primeiro e segundo quadrantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
I = integral duplaD x y , dx , dy
Aqui, é a parte do disco de raio que está nos primeiros e segundos quadrantes, ou seja, na metade superior do círculo. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando estamos lidando com regiões circulares.

Passo 2

Para mudar de coordenadas cartesianas x = r cos theta para polares y = r sin theta , usamos as seguintes relações:
dx , dy = r , dr , dtheta
E o elemento de área em coordenadas polares vira:
Essas mudanças vão simplificar a nossa integral, especialmente porque a região é um disco.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para e na nova coordenada. Como é a parte do disco de raio nos primeiros e segundos quadrantes, temos:
  • O raio varia de 0 até .
  • O ângulo varia de 0 a (já que os primeiros e segundos quadrantes correspondem a ).

Passo 4

Substituindo tudo na nossa integral original, ficamos com:
I = integral0^pi integral0^R (r cos theta)(r sin theta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
I = integral0^pi integral0^R r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a integral0^R r^3 , dr . A integral interna é:
r^44 g|0^R = R^44
Integrando:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral em I = R^44 integral0^pi cos theta sin theta , dtheta e ficamos com:

Passo 7

Para resolver a integral em integral0^pi cos theta sin theta , dtheta = integral0^0 u , du = 0 , usamos uma identidade trigonométrica ou uma substituição simples. Vamos usar a substituição:
Seja , então .
Quando , .
Quando , .
Então, a integral fica:
Isso porque os limites de integração são iguais.

Passo 8

Portanto, substituindo de volta:
I = R^44 cdot 0 = 0

Resposta

A integral dupla vale 0.

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