Calcule, usando mudança de variáveis em integrais duplas, a seguinte integral dupla:
onde, D é a parte do disco de raio situado no primeiro e segundo quadrantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
Aqui, é a parte do disco de raio que está nos primeiros e segundos quadrantes, ou seja, na metade superior do círculo. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando estamos lidando com regiões circulares.
Passo 2
Para mudar de coordenadas cartesianas para polares , usamos as seguintes relações:
E o elemento de área em coordenadas polares vira:
Essas mudanças vão simplificar a nossa integral, especialmente porque a região é um disco.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para e na nova coordenada. Como é a parte do disco de raio nos primeiros e segundos quadrantes, temos:
O raio varia de 0 até .
O ângulo varia de 0 a (já que os primeiros e segundos quadrantes correspondem a ).
Passo 4
Substituindo tudo na nossa integral original, ficamos com:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a . A integral interna é:
Integrando:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral em I = R^44 integral0^pi cos theta sin theta , dtheta e ficamos com:
Passo 7
Para resolver a integral em integral0^pi cos theta sin theta , dtheta = integral0^0 u , du = 0 , usamos uma identidade trigonométrica ou uma substituição simples. Vamos usar a substituição: