Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(f) Obtenha a fórmula de Euler.
(f) Obtenha a fórmula de Euler.
Passo 1
Neste exercício, vamos obter a fórmula de Euler. Vamos trabalhar com números complexos, funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar as séries de Taylor dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das séries de Taylor para as funções exponencial, cosseno e seno:
-
Exponencial:
-
Cosseno:
-
Seno:
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na série da exponencial:
Passo 4
Vamos expandir a série separando os termos de acordo com a paridade de
(pares e ímpares):
Passo 5
Simplificando os termos pares usando
:
Passo 6
Simplificando os termos ímpares:
Resposta
Juntando as duas partes, obtemos a fórmula de Euler: