Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(f) Obtenha a fórmula de Euler.

Passo 1

Neste exercício, vamos obter a fórmula de Euler. Vamos trabalhar com números complexos, funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar as séries de Taylor dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das séries de Taylor para as funções exponencial, cosseno e seno:
  • Exponencial:
  • Cosseno:
  • Seno:

Passo 3

Agora, vamos substituir x por na série da exponencial:

Passo 4

Vamos expandir a série separando os termos de acordo com a paridade de n (pares e ímpares):

Passo 5

Simplificando os termos pares usando :

Passo 6

Simplificando os termos ímpares:

Resposta

Juntando as duas partes, obtemos a fórmula de Euler:

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