Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
a) y'' + 5 y' = 0, y1(t) = 1,
b) y'' - 4y' + 4y = 0, y1(t) = e^(2t),
c) t^2 y'' - 4 t y' + 6 y = 0, t > 0, y1(t) = t^2,
d) t^2 y'' + 2 t y' - 2 y = 0, t > 0, y1(t) = t,
e) t^2 y'' - t(t+2) y' + (t+2) y = 0, t > 0, y1(t) = t,
f) x y'' - y' + 4 x^3 y = 0, x > 0, y1(x) = sen(x^2),
g) (x-1) y'' - x y' + y = 0, x > 1, y1(x) = e^x,
h) x^2 y'' - (x - 3/16) y = 0, x > 0, y1(x) = x^(1/4) e^(2 raiz(x)),
i) x^2 y'' + x y' + (x^2 - 1/4) y = 0, x > 0, y1(x) = sen(x) / raiz(x).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
E uma solução conhecida para essa equação é . O conteúdo que vamos usar aqui é o método da redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente da primeira. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs de segunda ordem e como aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma EDO de segunda ordem tem a forma geral:
No nosso caso, temos e . Sabemos que uma solução é . Queremos encontrar uma segunda solução que não seja apenas um múltiplo de .

Passo 3

O método da redução de ordem sugere assumir que a segunda solução pode ser escrita como:
Como , isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Substituindo na EDO original:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para . Vamos chamar , então temos:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante de integração. Então:
Lembrando que , temos:

Passo 8

Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração. Podemos simplificar chamando de uma nova constante :

Passo 9

Voltando à expressão para :
Como queremos uma solução linearmente independente de , escolhemos :

Resposta

A segunda solução linearmente independente é:

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