Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
f)
,
g)
,
h)
,
i)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
E uma solução conhecida para essa equação é
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método da redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente da primeira. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs de segunda ordem e como aplicar esse método.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma EDO de segunda ordem tem a forma geral:
No nosso caso, temos
e
. Sabemos que uma solução é
. Queremos encontrar uma segunda solução
que não seja apenas um múltiplo de
.
Passo 3
O método da redução de ordem sugere assumir que a segunda solução
pode ser escrita como:
Como
, isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo na EDO original:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vamos chamar
, então temos:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante de integração. Então:
Lembrando que
, temos:
Passo 8
Integrando novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração. Podemos simplificar chamando
de uma nova constante
:
Passo 9
Voltando à expressão para
:
Como queremos uma solução linearmente independente de
, escolhemos
:
Resposta
A segunda solução linearmente independente é: