Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto (0,0). Justifique sua resposta.
f(x, y)=clsen(x^2+y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função que depende de duas variáveis, e . O objetivo é descobrir se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto lim(x,y) to (a,b) f(x,y) = f(a,b) se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Nesse caso, queremos verificar para .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada:
f(x, y) = sin(x^2+y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0) 1, & se (x, y) = (0,0)
Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a 1.

Passo 4

Para facilitar, vamos usar uma substituição. Vamos chamar sin(t)t . Quando limt to 0 sin(t)t = 1 se aproxima de , se aproxima de 0. Assim, a função se transforma em:
Sabemos de um limite fundamental que:

Passo 5

Aplicando esse resultado ao nosso caso, temos:
lim(x,y) to (0,0) sin(x^2+y^2)x^2+y^2 = limt to 0 sin(t)t = 1
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de é igual a 1.

Passo 6

Agora, lembrando que:
f(0,0) = 1
Como o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, podemos concluir que a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua no ponto .

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