Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função que depende de duas variáveis,
e
. O objetivo é descobrir se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto
se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Nesse caso, queremos verificar para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
Precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a 1.
Passo 4
Para facilitar, vamos usar uma substituição. Vamos chamar
. Quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0. Assim, a função se transforma em:
Sabemos de um limite fundamental que:
Passo 5
Aplicando esse resultado ao nosso caso, temos:
Isso significa que o limite da função
quando
se aproxima de
é igual a 1.
Passo 6
Agora, lembrando que:
Como o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, podemos concluir que a função é contínua no ponto
.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.