Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que descobrir se a função
é contínua ou não no ponto
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites em Várias Variáveis, e para isso precisamos entender o que é continuidade e como calcular limites em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso de funções de duas variáveis, a função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
porque
.
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a zero, o que significaria que a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Caminho 1: Vamos escolher
. Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 5
Caminho 2: Agora, vamos escolher
. Substituindo:
Então, ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 6
Caminho 3: Vamos tentar um caminho mais geral, digamos
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando
:
Então, por esse caminho, o limite também é 0.
Passo 7
Caminho 4: Vamos tentar um caminho diferente, como
, onde
é um número real positivo. Substituindo:
Para que o limite seja 0, precisamos que o numerador cubra o denominador. Isso acontece se
, ou seja,
.
Mesmo se
, o limite ainda tende a 0, porque o denominador cresce mais rapidamente ou igual ao numerador.
Passo 8
Depois de verificar vários caminhos e ver que o limite é sempre 0, podemos concluir que o limite geral de
quando
se aproxima de
é 0.
Resposta
A função
é contínua no ponto
, pois o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, 0.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto
. Justifique sua resposta.
Ache
se
Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) ,
h) ,
i) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
22.
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