Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto (0,0). Justifique sua resposta.
f(x, y) = { xy^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que descobrir se a função é contínua ou não no ponto . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites em Várias Variáveis, e para isso precisamos entender o que é continuidade e como calcular limites em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso de funções de duas variáveis, a função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
porque .

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a zero, o que significaria que a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Caminho 1: Vamos escolher . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 5

Caminho 2: Agora, vamos escolher . Substituindo:
Então, ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 6

Caminho 3: Vamos tentar um caminho mais geral, digamos , onde é uma constante. Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando :
Então, por esse caminho, o limite também é 0.

Passo 7

Caminho 4: Vamos tentar um caminho diferente, como , onde é um número real positivo. Substituindo:
Para que o limite seja 0, precisamos que o numerador cubra o denominador. Isso acontece se , ou seja, .
Mesmo se , o limite ainda tende a 0, porque o denominador cresce mais rapidamente ou igual ao numerador.

Passo 8

Depois de verificar vários caminhos e ver que o limite é sempre 0, podemos concluir que o limite geral de quando se aproxima de é 0.

Resposta

A função é contínua no ponto , pois o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, 0.

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