Em cada item abaixo temos uma EDO e uma solução. Usando o método de redução de ordem Lema 1, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira. x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0, x>0, y1(x)=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau:
x^2 y'' - 4x y' + 6y = 0, x > 0
E já sabemos uma solução dessa equação, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente da primeira, usando o método de redução de ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre soluções de EDOs lineares e como o método de redução de ordem funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma EDO linear de segunda ordem, se a gente já tem uma solução conhecida, podemos encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. A ideia é assumir que a segunda solução y2(x) = v(x) cdot y1(x) tem a forma:
Onde é uma função que a gente precisa determinar.

Passo 3

Substituindo y2'(x) = v'(x) cdot x^2 + v(x) cdot 2x na EDO original, vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a primeira derivada:
y2''(x) = v''(x) cdot x^2 + 4v'(x) cdot x + 2v(x)
E a segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos x^2(v''(x) x^2 + 4v'(x) x + 2v(x)) - 4x(v'(x) x^2 + 2v(x) x) + 6v(x) x^2 = 0 , x^4 v''(x) + 4x^3 v'(x) + 2x^2 v(x) - 4x^3 v'(x) - 8x^2 v(x) + 6x^2 v(x) = 0 e na EDO:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Simplificando mais, os termos com x^4 v''(x) + (2x^2 - 8x^2 + 6x^2) v(x) = 0 se cancelam:
x^4 v''(x) = 0
v''(x) = 0
Então, temos:

Passo 6

A equação v(x) = C1 x + C2 é bem simples de resolver. A solução geral é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 7

Como estamos procurando uma segunda solução linearmente independente, podemos escolher v(x) = C1 x para simplificar. Assim, temos:
y2(x) = v(x) cdot y1(x) = x cdot x^2 = x^3
Podemos ignorar a constante porque ela será absorvida na constante da solução geral. Então, a segunda solução é:

Resposta

A segunda solução linearmente independente é:
y2(x) = x^3

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