Em cada item abaixo temos uma EDO e uma solução. Usando o método de redução de ordem Lema 1, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau:
E já sabemos uma solução dessa equação, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente da primeira, usando o método de redução de ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre soluções de EDOs lineares e como o método de redução de ordem funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma EDO linear de segunda ordem, se a gente já tem uma solução conhecida, podemos encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. A ideia é assumir que a segunda solução
tem a forma:
Onde
é uma função que a gente precisa determinar.
Passo 3
Substituindo
na EDO original, vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na EDO:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Simplificando mais, os termos com
se cancelam:
Então, temos:
Passo 6
A equação
é bem simples de resolver. A solução geral é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 7
Como estamos procurando uma segunda solução linearmente independente, podemos escolher
para simplificar. Assim, temos:
Podemos ignorar a constante
porque ela será absorvida na constante da solução geral. Então, a segunda solução é:
Resposta
A segunda solução linearmente independente é: