Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr 4 & 0 & 0 & 4 & -1 & 7 & 6 & 2 -2 & 1 & 1 & -2 & -1 & 7 & 7 & 1 2 & -9 & 7 & 7 & -7 & -7 & -5 & -5 0 & 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & -36 & -11 & -7 & -7 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -6 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(5-lambda)^3(3-lambda)^2
(B) pc^A(lambda)=(4-lambda)^2(-5-lambda)^2(-4-lambda)^2(2-lambda)^2
© pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(5-lambda)^3(3-lambda)(-2-lambda)
(D) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(3-lambda)^2(-2-lambda)^2
(E) pc^A(lambda)=(4-lambda)^3(-5-lambda)^2(-4-lambda)^2(2-lambda)
(F) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(5-lambda)^2(3-lambda)^2(-2-lambda)
(G) pc^A(lambda)=(4-lambda)^3(-5-lambda)^3(-4-lambda)^2
(H) pc^A(lambda)=(4-lambda)^3(-5-lambda)^3(-4-lambda)(2-lambda)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta quer a gente calcular o polinômio característico da matriz que você me passou. O polinômio característico é uma função que nos ajuda a encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz, que são super importantes em várias áreas da matemática e da engenharia. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes em blocos e como calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na estrutura da matriz . Ela é uma matriz , e observando seus elementos, percebemos que ela pode ser dividida em blocos menores. Isso facilita bastante o cálculo do determinante, que é essencial para achar o polinômio característico.

Passo 3

Vamos identificar os blocos da matriz A = A11 & A12 0 & A22 . Observando as linhas 7 e 8, notamos que as primeiras três colunas são todas zeros. Isso sugere que a matriz pode ser dividida em uma parte superior e uma parte inferior . Ou seja:
Onde:
  • é a matriz dos primeiros 3x3 elementos no canto superior esquerdo.
  • é a matriz dos últimos 5x5 elementos no canto inferior direito.
  • A parte inferior esquerda é uma matriz de zeros, o que facilita o cálculo do determinante.

Passo 4

Agora, vamos lembrar que para uma matriz em blocos dessa forma, o determinante de det(A - lambda I) = det(A11 - lambda I) cdot det(A22 - lambda I) (onde é a matriz identidade e é um escalar) é igual ao produto dos determinantes dos blocos e :
Isso significa que podemos calcular os polinômios característicos de cada bloco separadamente e depois multiplicá-los.

Passo 5

Vamos calcular primeiro o polinômio característico de A11 = 4 & 0 & 0 -2 & 1 & 1 2 & -9 & 7 . A matriz A11 - lambda I = 4 - lambda & 0 & 0 -2 & 1 - lambda & 1 2 & -9 & 7 - lambda é:
det(A11 - lambda I) = (4 - lambda) cdot det 1 - lambda & 1 -9 & 7 - lambda = (4 - lambda) [(1 - lambda)(7 - lambda) - (1)(-9)]
O polinômio característico é (1 - lambda)(7 - lambda) = lambda^2 - 8lambda + 7 :
Rightarrow det(A11 - lambda I) = (4 - lambda)(lambda^2 - 8lambda + 16) = (4 - lambda)(lambda - 4)^2 = (4 - lambda)^3
Calculando o determinante:
Simplificando:
Portanto, o polinômio característico de é .

Passo 6

Agora, vamos para o bloco A22 = -5 & 0 & 0 & 1 & -2 -1 & 1 & 1 & -2 & 1 2 & -36 & -11 & -7 & -7 0 & 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & -4 & -6 , que é a parte inferior direita da matriz -2 - lambda & 1 -4 & -6 - lambda :
(-2 - lambda)(-6 - lambda) - (1)(-4) = (lambda + 2)(lambda + 6) + 4 = lambda^2 + 8lambda + 16 = (lambda + 4)^2
Precisamos calcular , mas essa matriz é um pouco mais complicada. Podemos observar que as últimas duas linhas têm zeros nas primeiras três colunas, o que sugere que podemos dividir em blocos menores também.
Vamos focar nas últimas duas linhas e colunas, que formam uma matriz :
O determinante dessa submatriz é:
Então, o polinômio característico de é , considerando a estrutura da matriz.

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, o polinômio característico da matriz pc^A(lambda) = (4 - lambda)^3 cdot (-5 - lambda)^3 cdot (-4 - lambda)^2 é o produto dos polinômios característicos dos blocos e :

Resposta

A alternativa correta é:
pc^A(lambda)=(4-lambda)^3(-5-lambda)^3(-4-lambda)^2

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