Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz quadrada que pode ser escrita como vezes uma matriz diagonal vezes a inversa de . Isso é isso mesmo que dizer que é uma matriz de mudança de base que diagonaliza a matriz original. Então, o conteúdo aqui é sobre diagonização de matrizes e vetores próprios (autovetores). Para resolver, vamos precisar saber como achar os autovetores e entender que as colunas de são exatamente esses autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dada:
A = [rrr -2 & -5 & -5 -3 & 2 & 1 3 & 1 & 2 ]
E sabemos que , onde é uma matriz diagonal com elementos na diagonal principal. Aqui, e são os autovalores da matriz .
Passo 3
Como é a matriz cujas colunas são os autovetores de , a terceira coluna de corresponde ao autovetor associado ao autovalor . Precisamos achar esse autovetor.
Passo 4
Para encontrar o autovetor associado a det(A - lambda I) = 0 , primeiro encontramos os autovalores de . Já sabemos que é um deles. Vamos calcular o polinômio característico de :
Mas como o enunciado já dá dois autovalores, podemos focar em achar o autovetor correspondente ao maior autovalor , assumindo que .
Passo 5
Sabendo que o autovetor satisfaz , vamos resolver isso. Contudo, para simplificar, observamos as opções dadas. Todas as opções têm o primeiro elemento igual a 2, então vamos usar isso para encontrar a relação entre os elementos do autovetor.
Passo 6
Vamos assumir que o autovetor tem a forma c 2 y z . Substituindo na equação , encontramos relações entre e . Observando as opções, buscamos aquela que satisfaz essas relações.
Passo 7
Testando cada opção:
Opção A:
Opção B:
Opção C:
Opção D:
Verificamos qual dessas satisfaz as relações obtidas ao substituir na equação do autovetor. A que funciona corretamente é a onde .
Resposta
A terceira coluna da matriz c2 * 3 é múltipla de . Portanto, a resposta correta é a letra A.