Sabemos que existe P inversivel tal que:
[rrr -2 & -5 & -5 -3 & 2 & 1 3 & 1 & 2 ]=P[rrr -2 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [l2 * 3]
(B) [l2 * 4]
© [l2 * 2]
(D) [l2 * 5]
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz quadrada que pode ser escrita como vezes uma matriz diagonal vezes a inversa de . Isso é isso mesmo que dizer que é uma matriz de mudança de base que diagonaliza a matriz original. Então, o conteúdo aqui é sobre diagonização de matrizes e vetores próprios (autovetores). Para resolver, vamos precisar saber como achar os autovetores e entender que as colunas de são exatamente esses autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dada:
A = [rrr -2 & -5 & -5 -3 & 2 & 1 3 & 1 & 2 ]
E sabemos que , onde é uma matriz diagonal com elementos na diagonal principal. Aqui, e são os autovalores da matriz .

Passo 3

Como é a matriz cujas colunas são os autovetores de , a terceira coluna de corresponde ao autovetor associado ao autovalor . Precisamos achar esse autovetor.

Passo 4

Para encontrar o autovetor associado a det(A - lambda I) = 0 , primeiro encontramos os autovalores de . Já sabemos que é um deles. Vamos calcular o polinômio característico de :
Mas como o enunciado já dá dois autovalores, podemos focar em achar o autovetor correspondente ao maior autovalor , assumindo que .

Passo 5

Sabendo que o autovetor satisfaz , vamos resolver isso. Contudo, para simplificar, observamos as opções dadas. Todas as opções têm o primeiro elemento igual a 2, então vamos usar isso para encontrar a relação entre os elementos do autovetor.

Passo 6

Vamos assumir que o autovetor tem a forma c 2 y z . Substituindo na equação , encontramos relações entre e . Observando as opções, buscamos aquela que satisfaz essas relações.

Passo 7

Testando cada opção:
  • Opção A:
  • Opção B:
  • Opção C:
  • Opção D:
Verificamos qual dessas satisfaz as relações obtidas ao substituir na equação do autovetor. A que funciona corretamente é a onde .

Resposta

A terceira coluna da matriz c2 * 3 é múltipla de . Portanto, a resposta correta é a letra A.

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