Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
e existe
com
.
(B)
para todo
e existe
com
.
©
para todo
.
(D)
para todo
.
(E) existem
e
tais que
.
(F) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E) existem
(F) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz simétrica
de tamanho
e uma forma quadrática
. O que precisamos descobrir é como essa forma quadrática se comporta, dado que os autovalores (espectro) de
são
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes simétricas, formas quadráticas e autovalores.
Passo 2
Primeiro, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta, ou seja,
. Isso é importante porque matrizes simétricas têm algumas propriedades legais, como todos os seus autovalores serem reais e a existência de uma base de vetores próprios ortogonais.
Passo 3
A forma quadrática
associa um vetor
a um número real. O comportamento dessa forma quadrática depende dos autovalores de
. Se todos os autovalores forem positivos, a forma quadrática é definida positiva; se todos forem negativos, é definida negativa; se tiverem sinais mistos, é indefinida.
Passo 4
Vamos olhar para os autovalores de
:
,
e
. Todos esses valores são negativos. Isso significa que a forma quadrática
será definida negativa, ou seja,
para todo vetor
diferente de zero.
Passo 5
Além disso, como todos os autovalores são negativos, não existe nenhum vetor não nulo
tal que
. A forma quadrática não atinge zero a menos que
seja o vetor nulo.
Resposta
A opção correta é a (D)
para todo
.