Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é -7,-1,-6, podemos afirmar que:
(A) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(B) f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
© f(v)>0 para todo v neq 0.
(D) f(v)<0 para todo v neq 0.
(E) existem v e w tais que f(v)<0.
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz simétrica de tamanho e uma forma quadrática . O que precisamos descobrir é como essa forma quadrática se comporta, dado que os autovalores (espectro) de são , e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes simétricas, formas quadráticas e autovalores.

Passo 2

Primeiro, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta, ou seja, . Isso é importante porque matrizes simétricas têm algumas propriedades legais, como todos os seus autovalores serem reais e a existência de uma base de vetores próprios ortogonais.

Passo 3

A forma quadrática associa um vetor a um número real. O comportamento dessa forma quadrática depende dos autovalores de . Se todos os autovalores forem positivos, a forma quadrática é definida positiva; se todos forem negativos, é definida negativa; se tiverem sinais mistos, é indefinida.

Passo 4

Vamos olhar para os autovalores de : , e . Todos esses valores são negativos. Isso significa que a forma quadrática será definida negativa, ou seja, para todo vetor diferente de zero.

Passo 5

Além disso, como todos os autovalores são negativos, não existe nenhum vetor não nulo tal que . A forma quadrática não atinge zero a menos que seja o vetor nulo.

Resposta

A opção correta é a (D) para todo .

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