Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-3 xn+132 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=14, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cn infty xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 13 / 2 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 13 / 2]^n v1.
(A) 9
(B) 6
© 4
(D) 3
(E) 5
(F) 7
(G) 2
(H) 8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está me pedindo é para encontrar o valor de xn+2 = -3 xn + 132 xn+1, n=1,2,3, ldots na sequência definida pela lei de recorrência:
Sabemos também que e queremos que, quando for bem grande (ou seja, ), o limite de seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar essa recorrência em uma forma de vetor. Definimos:
vn = xn xn+1
Com isso, a relação de recorrência pode ser escrita como:
vn+1 = 0 & 1 -3 & 132 vn
Isso significa que, para cada passo, multiplicamos o vetor atual por uma matriz para obter o próximo vetor na sequência.

Passo 3

Agora, precisamos analisar o comportamento dessa sequência quando A = 0 & 1 -3 & 132 vai para o infinito. Isso está relacionado aos autovalores da matriz:
det(A - lambda I) = 0
Vamos encontrar os autovalores ( -lambda & 1 -3 & 132 - lambda = 0 ) resolvendo o determinante:
(-lambda)(132 - lambda) - (1)(-3) = 0
Então,
-lambda cdot 132 + lambda^2 + 3 = 0
Calculando o determinante:
lambda^2 - 132 lambda + 3 = 0
lambda = 132 pm raiz(132)^2 - 4 cdot 1 cdot 32
lambda = 132 pm raiz1694 - 122
Resolvendo essa equação quadrática:
lambda = 132 pm raiz1694 - 4842
lambda = 132 pm raiz12142
lambda = 132 pm 1122
lambda1 = 132 + 1122 = 244 = 6
lambda2 = 132 - 1122 = 24 = 12
Então, os autovalores são:

Passo 4

Para que a sequência lambda1 = 6 (maior que 1) tenda a zero quando lambda2 = 12 (menor que 1) vai para o infinito, precisamos que todos os componentes da solução linear associada aos autovalores sejam menores que 1 em módulo. Observando nossos autovalores:
O autovalor é maior que 1, o que faria a sequência crescer exponencialmente, a menos que o coeficiente associado a ele seja zero. Ou seja, precisamos que a componente correspondente a seja eliminada, garantindo que apenas influencie o comportamento da sequência.

Passo 5

Vamos expressar a solução geral da recorrência:
vn = c1 lambda1^n u1 + c2 lambda2^n u2
Para que (A - lambda2 I)u2 = 0 , precisamos que -12 & 1 -3 & 132 - 12 u21 u22 = 0 0 , já que -12 & 1 -3 & 6 u21 u22 = 0 0 cresce sem limite. Portanto, o vetor inicial -12 u21 + u22 = 0 Rightarrow u22 = 12 u21 deve estar alinhado com o autovetor associado a u2 = 2 1 .
Vamos encontrar os autovetores. Para :
Da primeira equação:
Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:

Passo 6

Agora, impomos que o vetor inicial v1 = x1 x2 = k 2 1 esteja na direção de 14 = 2k Rightarrow k = 7 :
x2 = k cdot 1 = 7
Sabemos que , então:
Portanto,

Resposta

O valor de para que é 7.

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