Beleza, vamos lá! O que a questão está me pedindo é para encontrar o valor de na sequência definida pela lei de recorrência:
Sabemos também que e queremos que, quando for bem grande (ou seja, ), o limite de seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar essa recorrência em uma forma de vetor. Definimos:
Com isso, a relação de recorrência pode ser escrita como:
Isso significa que, para cada passo, multiplicamos o vetor atual por uma matriz para obter o próximo vetor na sequência.
Passo 3
Agora, precisamos analisar o comportamento dessa sequência quando vai para o infinito. Isso está relacionado aos autovalores da matriz:
Vamos encontrar os autovalores () resolvendo o determinante:
Então,
Calculando o determinante:
lambda^2 - 132 lambda + 3 = 0
lambda = 132 pm raiz(132)^2 - 4 cdot 1 cdot 32
lambda = 132 pm raiz1694 - 122
Resolvendo essa equação quadrática:
lambda = 132 pm raiz1694 - 4842
lambda = 132 pm raiz12142
lambda = 132 pm 1122
lambda1 = 132 + 1122 = 244 = 6
lambda2 = 132 - 1122 = 24 = 12
Então, os autovalores são:
Passo 4
Para que a sequência lambda1 = 6 (maior que 1) tenda a zero quando lambda2 = 12 (menor que 1) vai para o infinito, precisamos que todos os componentes da solução linear associada aos autovalores sejam menores que 1 em módulo. Observando nossos autovalores:
O autovalor é maior que 1, o que faria a sequência crescer exponencialmente, a menos que o coeficiente associado a ele seja zero. Ou seja, precisamos que a componente correspondente a seja eliminada, garantindo que apenas influencie o comportamento da sequência.
Passo 5
Vamos expressar a solução geral da recorrência:
vn = c1 lambda1^n u1 + c2 lambda2^n u2
Para que (A - lambda2 I)u2 = 0 , precisamos que -12 & 1 -3 & 132 - 12 u21 u22 = 0 0 , já que -12 & 1 -3 & 6 u21 u22 = 0 0 cresce sem limite. Portanto, o vetor inicial -12 u21 + u22 = 0 Rightarrow u22 = 12 u21 deve estar alinhado com o autovetor associado a u2 = 2 1 .
Vamos encontrar os autovetores. Para :
Da primeira equação:
Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:
Passo 6
Agora, impomos que o vetor inicial v1 = x1 x2 = k 2 1 esteja na direção de 14 = 2k Rightarrow k = 7 :