Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(4) (y+1) dx - x dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, a gente vai trabalhar com equações diferenciais exatas e verificar se essa equação é exata ou não. Para isso, vamos precisar entender as condições de exatidão e, se não for exata, encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e . No nosso caso:
Para verificar se a equação é exata, a gente checa se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne ela exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de ou apenas de .
A fórmula para o fator integrante quando a equação depende de é:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para torná-la exata:
Agora, vamos verificar a exatidão novamente:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação agora é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Isso implica que , então , onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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