Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
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.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, a gente vai trabalhar com equações diferenciais exatas e verificar se essa equação é exata ou não. Para isso, vamos precisar entender as condições de exatidão e, se não for exata, encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. No nosso caso:
Para verificar se a equação é exata, a gente checa se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne ela exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de
ou apenas de
.
A fórmula para o fator integrante
quando a equação depende de
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para torná-la exata:
Agora, vamos verificar a exatidão novamente:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação agora é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Isso implica que
, então
, onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.