Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial de primeiro grau:
Vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para isso, vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão:
Comparando com a equação dada:
Temos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral do lado direito. Usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Então:
Passo 8
Voltando à equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Verificação
Vamos verificar se a solução satisfaz a equação original.
Calculando
:
Substituindo na equação
:
Simplificando:
Que é igual a
, confirmando que a solução está correta.