Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(1) y' - y = 2 x e^(2 x) ; y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial de primeiro grau:
Vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para isso, vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão:
Comparando com a equação dada:
Temos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
A integral à esquerda simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral do lado direito. Usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Então:

Passo 8

Voltando à equação:
Multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Verificação

Vamos verificar se a solução satisfaz a equação original.
Calculando :
Substituindo na equação :
Simplificando:
Que é igual a , confirmando que a solução está correta.

Exercícios relacionados