Encontre a solução geral da equação não homogênea
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a solução geral da equação diferencial não homogênea:
Aqui, estamos lidando com uma equação de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem e como encontrar soluções homogêneas e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Essa é uma equação do tipo Euler-Cauchy, que é uma forma especial de equações diferenciais de coeficientes variáveis.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma:
onde
é um número que precisamos encontrar. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
é um número a ser determinado.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 9
Substituindo
,
e
na equação não homogênea:
Simplificando os termos:
Comparando os termos, para que a igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais.
Isso nos leva a determinar o valor de
que satisfaz a equação.
Passo 10
Após resolver a equação para
, encontramos o valor adequado que permite igualar os coeficientes.
Finalmente, a solução particular
será determinada e, somando-se à solução homogênea, teremos a solução geral da equação original.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
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