Encontre a solução geral da equação não homogênea
x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = x^4 e^(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a solução geral da equação diferencial não homogênea:
Aqui, estamos lidando com uma equação de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem e como encontrar soluções homogêneas e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Essa é uma equação do tipo Euler-Cauchy, que é uma forma especial de equações diferenciais de coeficientes variáveis.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma:
onde é um número que precisamos encontrar. Derivando em relação a :

Passo 4

Substituindo , e na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando :
Como , temos:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde é um número a ser determinado.

Passo 8

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 9

Substituindo , e na equação não homogênea:
Simplificando os termos:
Comparando os termos, para que a igualdade seja válida para todos os , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais.
Isso nos leva a determinar o valor de que satisfaz a equação.

Passo 10

Após resolver a equação para , encontramos o valor adequado que permite igualar os coeficientes.
Finalmente, a solução particular será determinada e, somando-se à solução homogênea, teremos a solução geral da equação original.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

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