Encontre o volume do solido no primeiro octante limitado pela superfície
Passo 1
Vamos resolver esse exercício para encontrar o volume do sólido que está no primeiro octante e é limitado pela superfície . Isso faz parte do estudo de cálculo integral multivariável, onde usamos integrais duplas para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No primeiro octante, todas as coordenadas são positivas, ou seja, , e .
A superfície dada é . Para que :
Então, na projeção no plano , varia de 0 a 2 (porque ). Para cada , varia de 0 até .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla que representa o volume:
Aqui, integrando primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Portanto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos o resultado em relação a :
Expandindo :
Assim:
Calculando para :
Encontrando um denominador comum, que é 15:
Multiplicando por :
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante é unidades cúbicas.