Encontre o volume do solido no primeiro octante limitado pela superfície z = 4 - x^2 - y

Passo 1

Vamos resolver esse exercício para encontrar o volume do sólido que está no primeiro octante e é limitado pela superfície . Isso faz parte do estudo de cálculo integral multivariável, onde usamos integrais duplas para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No primeiro octante, todas as coordenadas são positivas, ou seja, , e .
A superfície dada é . Para que :
Então, na projeção no plano , varia de 0 a 2 (porque ). Para cada , varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla que representa o volume:
Aqui, integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Portanto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a :
Expandindo :
Assim:
Calculando para :
Encontrando um denominador comum, que é 15:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante é unidades cúbicas.

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