Encontre o volume do solido no primeiro octante limitado pela superfície z = 4 - x^2 - y

Passo 1

Vamos resolver esse exercício para encontrar o volume do sólido que está no primeiro octante e é limitado pela superfície . Isso faz parte do estudo de cálculo integral multivariável, onde usamos integrais duplas para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No primeiro octante, todas as coordenadas são positivas, ou seja, , e .
A superfície dada é . Para que :
Então, na projeção no plano , varia de 0 a 2 (porque ). Para cada , varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla que representa o volume:
Aqui, integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Portanto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a :
Expandindo :
Assim:
Calculando para :
Encontrando um denominador comum, que é 15:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(1) y' - y = 2 x e^(2 x) ; y(0) = 1
Classifique as seguintes equações diferenciais segundo a ordem e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável independente.
(1) x''' + 3 t x'' = ln x
(2) x^3 y^4 + x 3 y'' + 7 x = 0
(3) y^2 d^3 x / d y^3 = 2 x^2 - y
(4) (1+x^3) f'' - 3 x^4 f' + 2 f = tan(x)
(5) d^2 f / d x^2 + ln x d f / d y = 2 x
(6) d^4 x / dy^4 + (dx / dy)^5 = cos x
Calcule integral triplaB 12 d V onde B é o solido limitado pelas superfícies z=raiz3(x^2+y^2), z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2
Seja D a região limitada pelas curvas y = -x(x - 3) e y = -2 x.
(b) Descreva D como região do tipo I.